Produkträume

09.12.2009, 20:57

Stochastik_Niete

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ich brauche hilfe, bevor ich komplett durchdrehe!!!!

Die Aufgabe macht mich wahnsinnig:

Wir fuhren einen Zufallsversuch mit Omega={w1,...,wn} und pi:=P({wi}) für i=1,...n unabhängig voneinander zweimal durch.

a.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in beiden Durchgängen das gleiche Ergebnis?

b.) Fur welche Werte der pi ist die Wahrscheinlichkeit in (a) am kleinsten?

Den Aufgabenteil a.)kann ich vielleicht noch nachvollziehen, für den Aufgabenteil b.) habe ich einen Ansatz erhalten, den ich überhaupt nicht nachvollziehen kann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n p_{k}^{2}=\sum\limits_{k=1}^n ((p_{k}-\frac{1}{n})^{2}+\frac{2}{n}*p_{k}-\frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$

warum steht da jetzt $\begin{eqnarray*} p_{k}-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , der andere Summand ist ja nur eine quadratische Ergänzung.

Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könnt.

12.12.2009, 13:12

Cugu

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Wie man auf den Ansatz kommt, weiß ich auch nicht. Aber er ist richtig (wie gesagt quadratische Ergänzung) und vor allem nützlich.

Auf der linken Seite steht die Lösung von a). Die Frage ist nun, wie bekommt man den Audruck möglichst klein, wobei natürlich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n p_k=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_k\geq 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein müssen.

Die Summe kann man in drei Terme aufspalten.
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{-1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$
Dieser Term ist unabhängig von der Wahl $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{2}{n}p_k \end{eqnarray*}$
Dieser Term ist auch unabhängig von der Wahl der $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ , weil... .

Man muss als den ersten Term minimieren:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \left(p_k-\frac{1}{n}\right)^{2} \end{eqnarray*}$ .
Kleiner als 0 kann er schon mal nicht werden...

12.12.2009, 16:06

Royal Tomek

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Zitat:

Original von Cugu
Wie man auf den Ansatz kommt, weiß ich auch nicht.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n p_k^2=\sum\limits_{k=1}^n ((p_k-\frac{1}{n})+\frac{1}{n})^2=\sum\limits_{k=1}^n (p_k-\frac{1}{n})^2+\frac{2}{n}\sum\limits_{k=1}^n (p_k-\frac{1}{n})+\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^2}=(\sum\limits_{k=1}^n (p_k-\frac{1}{n})^2) + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das letzte Gleichheitszeichen gilt, da die mittlere Summe offensichtlich 0 ist und die hintere klarerweise eben 1/n.

Die erste Summe (die einzige, die interessant ist) ist immer größer gleich 0 und genau dann 0, wenn du alle p_k=1/n wählst (damit ist auch die Nebenbedingung erfüllt).

Auf deinen Ansatz kommst auch schnell, wennst beim zweiten Gleichheitszeichen die Summen nicht gleich aufspaltest, und einfach ausmultiplizierst und zusammenfasst.

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