Dimension über Körper der komplexen Zahlen

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Dani_87 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension über Körper der komplexen Zahlen
Hallo liebe Community,

ich hoffe, ihr seid so lieb und helft mir weiter.

Also: Wir müssen für eine Übung die Dimension von Vektorräumen bestimmen. Bisher war das auch gar kein Problem, da wir nur mit den reellen Zahlen gearbeitet haben.
Ich weiß also, z.B. dass die (max.) ist und allgemein dim(R^n)=n ist.

Nun habe ich schon herausbekommen (stimmt das?!), dass bei Komplexen Zahlen folgendes gilt: dim(C^n)=2n ....

Aber, was ist wenn die Dimension jetzt nicht über den Körper der reellen Zahlen definiert ist (also die kleine Unterzahl, die man nach "dim" noch schreiben kann), sondern der Körper der der komplexen Zahlen ist...?! Das versteh ich gar nicht.

Also was ist z.B. die Dimension im Körper der komplexen Zahlen von dim(C^12) ?!

Hoffe auf eure Mithilfe und Erklärungen...,
liebe Grüße Daniela
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension über Körper der komplexen Zahlen
eine komplexe zahl kann man auch als Vektor des RXR auffassen, die komplexen zahlen liegen in einer ebene.
Dani_87 Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja...
Vielen Dank für deine schnelle Antwort, aber so richtig weiterhelfen tut sie mir nicht.

Wie ich ich denn nun bei der Dimensionsbestimmung vor, wenn ich im Körper der Komplexen Zahlen (bzw. RxR) bin?
Und waren meine anderen Annahmen richtig?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ah ja...
die dimension von C ist 2, denn C kann als RXR interpretiert werden, die dimension von RXR ist auch 2, denn der RXR besteht ja aus allen tupeln (x,y) mit x,y element aus R
nun ist die dimension von C^n=2n, ist richtig, wie ist also die dimension von C^12?
Dani_87 Auf diesen Beitrag antworten »
?! Andere Frage
Ich schätze dann ist die Dimension von C^12 so wie ich es mir gedacht habe 2n=> 24.

ABER: ich glaube ihr versteht mein Problem nicht.
Es geht mir nicht nur generell um die Dimension des Vektorraums in irgendeinem Körper, sondern ich möchte gern wissen, was der Unterschied zwischen den Körpers ist.

Also:
Sei R Körper und R Vektorraum, dann gilt:
dim(R^n)=n
Sei R Körper und C Vektorraum, dann gilt:
dim(C^n)=2n

(das war ja jetzt soweit richtig?!)

UND NUN:
Sei C Körper und R Vektorraum, dann gilt:
dim(R^n)= ?
Sei C Körper und C Vektorraum, dann gilt:
dim(C^n)= ?

Versteht ihr, was ich meine?! Wo liegt denn da der Unterschied?! Könnte mir das mal jemand versucehn zu erklären...?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ?! Andere Frage
vielleicht verstehe ich wirklich nicht, was du meinst.....
Zitat:
Original von Dani_87


Also:
Sei R Körper und R Vektorraum, dann gilt:
dim(R^n)=n
Sei R Körper und C Vektorraum, dann gilt:
dim(C^n)=2n

(das war ja jetzt soweit richtig?!)


das ist richtig, wenn man C als vektorraum über R betrachtet.
Zitat:

UND NUN:
Sei C Körper und R Vektorraum, dann gilt:
dim(R^n)= ?
Sei C Körper und C Vektorraum, dann gilt:
dim(C^n)= ?

R ist kein vektorraum über C, denn in R liegen ja alle tupel aus C mit (a,0), a element aus R, oder alle komplexen zahlen mit a+0i
wenn C vektorraum über sich selbst ist, so ist die dimension von c^n=n
 
 
Dani_87 Auf diesen Beitrag antworten »
Genau...
Genau so nennt man das:
"Ein Vektorraum V über einem Körper K"

Bei uns war es bisher so, dass der Körper dann quasi gleich R war. Die Beispiele der Vektorräume R bzw. C über R habe ich ja deiner Ansicht nach jetzt so richtig verstanden (dimR^n=n und dimC^n=2n)

Nun soll ich aber Sachen lösen, bei denen der Körper gleich C ist.
Du hast recht, ich habe mich verschaut. Nach VR-R über C wird nicht gefragt. Jedoch nach C.
Und das verstehe ich nun gar nicht...
Ist die Dimension von C^7 dann gleich 7 (so hast du es ja quasi geschrieben)?!
Warum ist das so?! Was muss ich jetzt beachten/mir btrachten?!

Danke bisher. Voll nett,d ass du dich so bemühst Big Laugh
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Genau...
wir betrachten einen beliebigen Körper und nennen ihn K;
nun hat K^n die dimension n, (KXK)^n hat die dimension 2n über K.
nun haben wir den seltenen fall, dass KXK wieder ein körper ist, wir nennen ihn K', welche dimension hat dann K'^n über K'?
die dimension n.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Genau...
ach so, sorry, hab vergessen, auf die hälfte einzugehen, wenn du die dimension von C betrachtest, kommt es darauf an, ob du C als körper auffasst oder als vektorraum über R, als Vektorraum über R hat C die dimension 2, als körper die dimension 1.
Dabie_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub ich hab es verstanden
Danke für eure Mühen, ich glaube ich hab es jetzt verstanden...

Da C quasi RxR ist wäre es als Vektorraum über R eben 2n... als Vektorraum über sich selbst, hat man aber ja quasi die "RxR"-Eigenschaft schon und deswegen ist die Dimension dann n....

Könnt ihr sagen, ob das so also richtig ist:
Sei C Vektorraum über C (Körper):
dim(C^12)=12
dim(C^33)=33

Sei C Vektorraum über R (Körper):
dim(C^12)=24
dim(C^42)=84

Das wirkt so "leicht" irgendwie, dass ich Angst hab, was falsch zu machen... *lach*
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Abstraktere Sachen
Sooo und nun habe ich noch ein paar abstrakte aufgaben:

In K^n ist dim(span(e1,e2,e3,e4,e1+e2+e3+e4+e5))=4
Ich habe mir das so gedacht, da e1 bis e4 linear unabhängig voneinander sind. Eine Summe dieser vier mit e5 wär aber eine Linearkombination... (ich könnte ja den Koeffizienten der vor e5 steht gleich Null setzen).
Richtig gedacht?!


In V= R(x) ist dim(span(1,x^2,x)= ?
Da bin ich mir jetzt unsicher. Der Vektor 1 ist ja immer linear unabhängig. Also ist die Dimension mindestens 1. Ich frage mich jetzt, ob ich die anderen irgendwie dargestellt bekomme... Aber eigentlich glaube ich das nicht, weil wie soll ich denn von x auf x^2 kommen?! (Oder darf der Koeffizient ne Quadratzahl sein?!).


Und gleiches Spiel hab ich auch nochmal:
In V= R(x) ist dim(span(1+x^3,x^2,x,2)= ?
verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ah ja...
Zitat:
Original von Dani_87
Ich weiß also, z.B. dass die (max.) ist

verwirrt Verstehe ich da was falsch? Die Dimension von ist 1.

Zitat:
Original von Dani_87
Nun habe ich schon herausbekommen (stimmt das?!), dass bei Komplexen Zahlen folgendes gilt: dim(C^n)=2n ....

Das kommt drauf an. Siehe unten.

Zitat:
Original von lgrizu
die dimension von C ist 2, denn C kann als RXR interpretiert werden, die dimension von RXR ist auch 2, denn der RXR besteht ja aus allen tupeln (x,y) mit x,y element aus R
nun ist die dimension von C^n=2n, ist richtig, wie ist also die dimension von C^12?

Ich glaube, hier ist einiges schief gelaufen. Wenn man den Vektorraum C über dem Körper C betrachtet, dann hat er die Dimension 1. Über dem Körper R hat C die Dimension 2. Man muß also wissen, über welchem Körper der Vektorraum gebildet wird.

Zitat:
Original von Dani_88
In K^n ist dim(span(e1,e2,e3,e4,e1+e2+e3+e4+e5))=4
Ich habe mir das so gedacht, da e1 bis e4 linear unabhängig voneinander sind. Eine Summe dieser vier mit e5 wär aber eine Linearkombination... (ich könnte ja den Koeffizienten der vor e5 steht gleich Null setzen).
Richtig gedacht?!

Nein. Ich frage mich, was du überhaupt gedacht hast. Sind nun die 5 gegebenen Vektoren linear abhängig? Wenn ja, müßtest du einen aus den anderen 4 darstellen können.
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm... ja danke für...
Zitat:
Nein. Ich frage mich, was du überhaupt gedacht hast. Sind nun die 5 gegebenen Vektoren linear abhängig? Wenn ja, müßtest du einen aus den anderen 4 darstellen können.


Danke für die etwas beleidigenden Worte und die sonst nicht wirklich vorhandene Hilfe.

Dass e1 bis e4 linear unabhängig sind, ist ja wohl klar. Das hab ich ja auch geschrieben. Mein Problem war nur, dass ich nicht wusste, wie es mit e1+e2+e3+e4+e5 aussieht...
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag
Ich mein e5 kann ich ja eigentlich nicht aus e1 bis e4 bilden, d.h. eine Summe, bei der ein Summand e5 ist, müsste eigentlich auch linear unabhängig sein. Daraus würde dann folgen, dass die Dimenson gleich 5 ist.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ?! Andere Frage
@kiste
ist doch schon aufgeklärt
Zitat:
Original von lgrizu

wenn C vektorraum über sich selbst ist, so ist die dimension von c^n=n
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachtrag
Zitat:
Original von Dani_88
Ich mein e5 kann ich ja eigentlich nicht aus e1 bis e4 bilden, d.h. eine Summe, bei der ein Summand e5 ist, müsste eigentlich auch linear unabhängig sein. Daraus würde dann folgen, dass die Dimenson gleich 5 ist.

das stimmt so nicht, wenn eine linearkombination nur auf triviale weise den nullvektor darstellt sind die vektoren linear unabhängig, also wenn eine linearkombination von vektoren ist, und allesind.
nun betrachten wir die linearkombination aus den vektoren wenn linear unabhängig sind so kann e_5 als linearkombination dargestellt werden, mit ist.e_5 kann also als linearkombination dargestellt werden.

zu deiner basis:
bildet eine basis der polynome vom grad 2, kann man leicht durch koeffizientenvergleich zeigen, wann ergibt ein polynom das nullpolynom?
linearkombination ist nun ist ein polynom dann das nullpolynom, wenn alle koeffizienten null sind, gibt es also eine linearkombination ausser der trivialen?
andersherum kann man a,b,c aus R beliebig wählen, also Erzeugendensystem.
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Zu der e-Aufgabe
Also ich dachte die e1 bis e5 wären diese Vektoren, bei denen die 1 immer um die i-te Stelle verrückt wird. Also für den R^3 z.B.


e1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
e2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
e3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/latex]

Und daher dachte ich, dass man ja e5 NICHT aus den anderen vier herstellen kann... und daher wäre dann die Dimension eben doch 5 oder?!?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zu der e-Aufgabe
wenn die die einheitsvektoren sein sollen, sorry, hab gerade gedacht, das seien beliebige vektoren und die dimension soll 4 sein....
also du sollst zeigen oder wiederlegen, dass ist, oder wie ist die aufgabenstellung genau?
wenn nämlich gilt:dann muss einer der vektoren als linearkombination der anderen darstellbar sein, wenn du das zeigen oder wiederlegen sollst und die e_i die einheitsvektoren sind ist deine überlegung richtig, dann ist die dimension 5.
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »
e...
Das, was ich ganz am Anfang geschrieben habe, ist die alleine Aufgabenstellung. Mehr steht da nicht.
Ich soll nun die Dimension bestimmen.

Ich dachte erst an 4. Aber wenn ich davon ausgehe, dass das die Einheitsvektoren sind (und die werden ja eigentlich allgemein so bezeichnet), dann braucht man ja e5... und dann denke ich, dass die Dimension doch 5 ist....
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstraktere Sachen
Zitat:
Original von Dani_88


In K^n ist dim(span(e1,e2,e3,e4,e1+e2+e3+e4+e5))=4

das hast du am anfang geschrieben, geht keine aufgabenstellung draus hervor, sieht wie eine aussage aus.....
aber wenn die dimension zu bestimmen ist, und das deine lösung sein sollte, dann ist die falsch und die dimension ist 5.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e...
Zitat:
Original von Dani_88
und dann denke ich, dass die Dimension doch 5 ist....

Soweit ok. Du mußt jetzt zeigen, daß diese 5 Vektoren linear unabhängig sind. Anders gesagt: wenn man den Nullvektor aus diesen 5 Vektoren kombiniert, dann müssen alle Linearfaktoren Null sein.
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön. Das ist mir ja schon klar. Ich war nur verwirrt wegen der Summe. Aber wegen e5 ist es ja eigentlich eh logisch. Und wie man lineare (un)abhängigheit zeigt, weiß ich. Das hatte man ja in der Schule (wenigstens mal eine Sache, die nicht "neu" ist).

@ lgrizu
Zitat:
zu deiner basis:
bildet eine basis der polynome vom grad 2


Wenn die drei also eine Basis bilden, sind sie linear unabhängig. D.h. die Dimension ist 3. Oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dani_88
Dankeschön. Das ist mir ja schon klar. Ich war nur verwirrt wegen der Summe. Aber wegen e5 ist es ja eigentlich eh logisch. Und wie man lineare (un)abhängigheit zeigt, weiß ich. Das hatte man ja in der Schule (wenigstens mal eine Sache, die nicht "neu" ist).

@ lgrizu
Zitat:
zu deiner basis:
bildet eine basis der polynome vom grad 2


Wenn die drei also eine Basis bilden, sind sie linear unabhängig. D.h. die Dimension ist 3. Oder?

ja, aber das musst du wahrscheinlich zeigen; hab ich schon was zu geschrieben.
betrachte einfach die linearkombination , =0 setzen um zu zeigen, dass alle null sind und zeigen, dass es den raum der polynome vom grad 2 erzeugt.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ?! Andere Frage
Zitat:
Original von lgrizu
@kiste
ist doch schon aufgeklärt

Hab doch gar nichts geschrieben? verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ?! Andere Frage
ach, steh irgendwie neben mir, sorry, meinte klarsoweits kommentar....
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, danke
Vielen lieben Dank. Ich geb mir Mühe, das alles zu verstehen...

Aber ne blöde Frage habe ich trotzdem. Wenn dort Polynome stehen, wie arbeite ich dann, um die Lineare Unabhängigkeit zu zeigen?!

Also ich hab z.B. noch die Frage dim(L(1+x^3, x^2, x, 2)= ?

Kann ich dann wirklich einfach machen
a(1+x^3) + b*x^2 + cx + d2 = 0 ?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Danke, danke
Ja, das ist erstmal der Ansatz. Rechts steht das Nullpolynom. Für die Linearfaktoren kannst du nun durch Koeffizientenvergleich Gleichungen aufstellen.
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin mir jetzt nicht sicher, aber ungefähr so:



Ohne lange rumzurechnen, würde es doch folgendes ergeben:

Falls x=0 -> a+2d=0 -> a und d gleich 0, restliche Koeffizienten variabel -> linear abhängig


Fall 1: Koeffizienten vor x gleich 0 -> 2d=0 -> d=0 -> linear unabhängig
Fall 2: allgemein: ?! Wie löse ich das denn jetzt auf?! Über Polynomdivision oder was?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dani_88
Falls x=0 -> a+2d=0 -> a und d gleich 0, restliche Koeffizienten variabel -> linear abhängig

Du machst es dir einfach zu kompliziert. unglücklich

Nimm das Polynom . Wenn das gleich dem Nullpolynom sein soll, dann muß jeder Koeffizient gleich Null sein. Daraus ergeben sich 4 Gleichungen.
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Irgendwie raff ich das jetzt nicht..., was für vier Gleichungen ergeben sich denn da?

usw. oder wie ?!

Aber das ist ja auch falsch, nicht wahr... denn I. und II. könnten sich doch in einer Summe aufheben...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Was sind die Koeffizienten eines Polynoms? Das sind die Faktoren vor den jeweiligen Grundpolynomen x^k, k=0, ..., n.
Dani_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte in unserem Falle wären die Koeffizienten: a,b,c und d...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

klarsoweit hat es doch geschrieben, das sind die koeffizienten vor den x^n, also in deinem speziellen fall, so wie du es dargestellt hast, die a,b,c,d.
nun noch einmal, ein polynom ergibt dann das nullpolynom, wenn alle koeffizienten null sind.

du kannst dir die polynome auch als vektoren vorstellen, ich weiss, bilinearformen hattet ihr noch nicht, aber trotzdem ist es hilfreich, um zu verstehen, wie man lineare unabhängigkeit nachweisen kann, dann hast du auch vier gleichungen.
die polynome sind vom grad kleiner/gleich drei, man kann p(x)=1+x^3 auch als den vektor (1,0,0,1) schreiben und das polynom x^2 als (0,0,1,0), das polynom x als (0,1,0,0) und das polynom p(x)=2 als (2,0,0,0); der erste eintrag ist der koeffizient von x^0, der zweite eintrag der von x^1, der dritte der von x^2 und der vierte der von x^3;
nun kannst du prüfen, ob die vektoren linear unabhängig sind, dann sind es die polynome auch.
Dani_87 Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE!

jetzt sehe ich da ne Logik drin. WErde das morgen früh mal machen, durchgehen und meine Lösung hier posten!
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