Beweis einer Ungleichung

09.12.2009, 21:46

DOZ ZOLE

Beweis einer Ungleichung

Hallo,
ich versuche gerade mit Hilfe des Mittelwertsatzes folgendes zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} cos(x)\leq \frac{\pi}{2}-x,\ \ x\in \left]0,\frac{\pi }{2} \right[ \end{eqnarray*}$

meine idee war jetzt sich folgende fkt zu definieren und damit denn den MWS zu machen:

$\begin{eqnarray*} h:[0,x]\rightarrow \mathbb R ,h(t)=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)-h(0)=h'(\xi)(x-0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x=x \end{eqnarray*}$

diese aussage is natürlich immer war und daher ist denn auch die ungleichung immer war oder?

MfG
DOZ ZOLE

10.12.2009, 00:14

Abakus

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RE: Beweis einer Ungleichung
Hallo!

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
meine idee war jetzt sich folgende fkt zu definieren und damit denn den MWS zu machen:

$\begin{eqnarray*} h:[0,x]\rightarrow \mathbb R ,h(t)=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)-h(0)=h'(\xi)(x-0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x=x \end{eqnarray*}$

diese aussage is natürlich immer war und daher ist denn auch die ungleichung immer war oder?

Da sehe ich nicht wirklich, was das zeigt.

Die Idee ist eher, mal $\begin{eqnarray*} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \end{eqnarray*}$ ins Spiel zu bringen.

Grüße Abakus smile

12.12.2009, 16:48

DOZ ZOLE

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ok ich fürchte ich brauch noch nen deutlicheren hinweiß

12.12.2009, 17:45

lgrizu

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wie sieht f'(x) aus, wie kann man das abschätzen?

13.12.2009, 00:26

Abakus

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
ok ich fürchte ich brauch noch nen deutlicheren hinweiß

Betrachte:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos \frac{\pi}{2} - \cos x }{\frac{\pi}{2} - x} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

13.12.2009, 15:52

DOZ ZOLE

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ok denn erhalte ich doch die folgende hilfsfkt und dazu über den MWS:

$\begin{eqnarray*} h:\left[x,\frac{\pi }{2} \right] \rightarrow \mathbb R ,\ \ h(t)= cos(t) \end{eqnarray*}$

MWS:

$\begin{eqnarray*} h\left(\frac{\pi}{2} \right)-h(x)=h'(\xi)\left(\frac{\pi}{2}-x \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow cos(x)=\left(\frac{\pi}{2} -x\right)sin(\xi) \end{eqnarray*}$

und das sieht ja meiner eigentlich ungleichung schonmal garnicht so unähnlich. jetzt weiß ich noch das der faktor $\begin{eqnarray*} sin(\xi) \end{eqnarray*}$ nur werte aus dem intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ annehmen kann. außerdem hat der $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ nur werte aus $\begin{eqnarray*} ]0,1[ \end{eqnarray*}$ und der term $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}-x \end{eqnarray*}$ nimmt werte aus dem intervall $\begin{eqnarray*} ]0,\frac{\pi}{2}[ \end{eqnarray*}$ an.

wie kann ich jetzt weiter vorgehen?

MfG
DOZ ZOLE

13.12.2009, 16:03

Abakus

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Welche Werte sind für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zulässig und was macht der Sinus da?

Grüße Abakus smile

13.12.2009, 16:33

DOZ ZOLE

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naja es müsste doch gelten:

$\begin{eqnarray*} \xi\in \left[x,\frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$

wobei für x ja gilt $\begin{eqnarray*} x\in \left]0,\frac{\pi }{2} \right[ \end{eqnarray*}$

und damit nimmt $\begin{eqnarray*} sin(\xi) \end{eqnarray*}$ die werte aus $\begin{eqnarray*} ]0,1] \end{eqnarray*}$ an oder?

und das heißt es gilt

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\pi}{2}-x \right)sin(\xi)\leq\left(\frac{\pi}{2}-x \right) \end{eqnarray*}$

und dann gilt auch

$\begin{eqnarray*} cos(x)\leq\left(\frac{\pi}{2}-x \right) \end{eqnarray*}$

oder?
allerdings bin ich mir nicht sicher ob man in der letzten zeile auch gleichheit zulassen darf

EDIT: werteintervall vom sin berichtigt und <= eingesetzt

13.12.2009, 17:01

Abakus

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Also die Idee hast du. Möglicherweise steckt in dem Ganzen aber noch ein Vorzeichenfehler, überlegs mal selbst.

Grüße Abakus smile

13.12.2009, 19:06

DOZ ZOLE

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also ich hab jetzt nochmal gesucht aber ich hab keinen vorzeichenfehler gefunden verwirrt

13.12.2009, 21:21

Abakus

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
also ich hab jetzt nochmal gesucht aber ich hab keinen vorzeichenfehler gefunden verwirrt

Oh ja, dann hab ich mich hier verguckt und ein Minus da gesehen, wo keins ist verwirrt

. Alles ok.

Grüße Abakus smile

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