Abbildungsmatrix

09.12.2009, 23:02

Abbildungsmatrix

Abbildungsmatrix

Hallo Leute am späten Abend bereitet mir noch diese Aufgabe noch Kopfzerbrechen.

Gegegeben sei die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \varphi(x)=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a.) Berechnen Sie die Matrix B, die die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bezüglich der folgenden Basen ausdrückt:

$\begin{eqnarray*} v_1 = ( 1,1,1)^T, v_2=(1,1,0)^T , v_3=(1,0,0)^T \end{eqnarray*}$
im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} w_1=(1,3)^T, w_2=(2,5)^T \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_3 \\ \alpha_2 & \alpha_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , ist auch laut Aufgabenstellung gesucht, stimmts?!

$\begin{eqnarray*} M^a_b (\varphi)=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & -7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

folglich $\begin{eqnarray*} \varphi(v_1)_E= 2 \begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}+1 \begin{pmatrix} \alpha _3 \\ \alpha_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(v_2)_E= 5 \begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}-4 \begin{pmatrix} \alpha _3 \\ \alpha_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(v_3)_E= -3 \begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}-7 \begin{pmatrix} \alpha _3 \\ \alpha_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So wie gehe weiter vor, wenn ich ein LGS aufbauen sollte, wie sieht die den aus, meine sieht ganz komisch aus. Freue mich auf antworten.
MFG Dobre

10.12.2009, 00:17

tigerbine

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RE: Abbildungsmatrix
Deine Matrix ist bzgl. der Einheitsbasis beider Räume angegebenen (Basis 2, M2) Theorie steht hier: [Artikel] Basiswechsel Dein Ansatz ist falsch. Du sollst keine Basis finden, sondern die Matrix, die die Lin.Abbisung bzgl. der Einheitsbasen darstelt bzgl. der neuen Basen darstellen. Vergleiche das Diagramm. Ich empfehle das entsprechende Kapitel im Fischer zu lesen, um zu verstehen ,warum man S und T so aufstellt. Dann das Schema üben.

code:

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Basiswechsel2
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 1 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,1,1]
Vektor 2: [1,1,0]
Vektor 3: [1,0,0]
Koordinaten der Basis 2 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [0,1,0]
Vektor 3: [0,0,1]
 
Koordinaten der Basis 1 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,3]
Vektor 2: [2,5]
Koordinaten der Basis 2 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0]
Vektor 2: [0,1]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 2
 
M = [2,5,-3;1,-4,-7]
 
y=(T*M2*SI)x=M1x
SI =
     1     1     1
     1     1     0
     1     0     0
M2 =
     2     5    -3
     1    -4    -7
T =
   -5.0000    2.0000
    3.0000   -1.0000
M1 =
  -40.0000  -41.0000   -8.0000
   22.0000   24.0000    5.0000

10.12.2009, 19:50

Kohlmeise

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Hi,

wie kommst du denn auf M1? Wenn man die Matrizen so multipliziert, dann habe ich ja das Problem, dass ich verschiedene Dimensionen miteinander multipliziere. Genau das soll ja auch die zu suchende Matrix machen, R³ in R² abbilden.
Wie hast du das denn umgangen? Wenn ich nämlich einfach die Transformationsmatrizen verwende bekomme ich ein leicht abweichendes Ergebnis heraus... verwirrt

Wäre echt dankbar für deine Hilfe Blumen

Grüßle

10.12.2009, 20:05

Kohlmeise

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Oh Mann, ich bin soooooooooo blöd, ich hab' die falsche Reihenfolge gehabt, tut mir Leid Ups

Dann habe ich aber doch noch eine Frage: woran erkennt man in welcher Richtung man die Abbildung lösen muss? Daran, was geht und was nicht, also immer von kleinerer dim in die größere, oder wie??? geschockt

Und: warum arbeite ich eigentlich nicht mit der Inversen von SI und der "normalen Form" von T?

10.12.2009, 20:07

tigerbine

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Verstehe deine Frage nicht. Was ist eine Abbildung lösen? Und das Dieagramm gibt doch klar die Reihenfolge vor. Beachte nur, dass es optisch hier von links nach rechts geht. Matrizen aber von rechts nach links gerechnet werden.

10.12.2009, 20:13

Kohlmeise

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Oh, ok, danke smile

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