Kreise in Polarkoordinaten (Mehrfachintegral)

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10.12.2009, 10:20	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise in Polarkoordinaten (Mehrfachintegral) Hallo, ich sitze schon seit Stunden an dieser Aufgabe und komme nicht weiter. Hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps geben Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die innerhalb des Kreises $\begin{eqnarray} r=2cos(\phi) \end{eqnarray}$ und außerhalb des Kreises $\begin{eqnarray} r=1 \end{eqnarray}$ liegt. Ich habe mir ein Bild dazu gezeichnet. Bild Ist das Bild so richtig? Ich hab mal die Schnittpunkte der Kreise berechnet: $\begin{eqnarray} 1=2cos(phi) => phi=1/3 pi \end{eqnarray}$ Aber wie lauten jetzt die Bereiche in denen integriert werden soll? Ich hab da schwierigkeiten, weil die Kreise zwei verschiedene Mittelpunkte haben. 1<r<2cos(phi) 1/3<phi<5/3 pi Vielen Dank schonmal
10.12.2009, 11:07	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreise in Polarkoordinaten (Mehrfachintegral) Da ich mir sonst nicht zuhelfen weiß, habe ich es mal so probiert: Ich berechne die Fläche vom Einheitskreis von 0 bis 1/3 pi und dann die komplette Fläche des 2 Kreises von 0 bis 2pi A(rcos(phi))-A(Einheitskreis) Fläche vom Einheitskreis von 0-1/3 pi $\begin{eqnarray} 2\int_0^\frac{\pi }{3} \int_0^1 \! r \, dr \,d\phi \end{eqnarray}$ =1/3 pi Fläche vom Kreis r=cos(\phi) von 0 bis 2 pi $\begin{eqnarray} \int_0^\frac{2\pi }{1} \int_0^\frac{2cos(\phi)}{1} \! r \, dr \,d\phi \end{eqnarray}$ =2pi 2 pi-1/3pi =5/3 pi
10.12.2009, 13:12	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreise in Polarkoordinaten (Mehrfachintegral) Nun schau, was die Grenzen für r sind: $\begin{eqnarray} r\in[1, 2cos(\phi)] \end{eqnarray}$ Wie schaut mit $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ aus? $\begin{eqnarray} \phi\in[-\pi/3,\pi/3] \end{eqnarray*}$ Hier ist ein Bild für dich(schau dir den Winkel zwischen Geraden und x-achse):
10.12.2009, 13:32	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würd sagen die Grenzen für r sind : $\begin{eqnarray} 2cos(\phi)\leq r\leq 1 \end{eqnarray}$ und für den Winkel $\begin{eqnarray} -\frac{\pi }{3} \leq \phi\leq \frac{\pi }{3} \end{eqnarray}$ also würde das Integral so aussehen: $\begin{eqnarray} 2\int_0^\frac{\pi }{3} \int_\frac{2cos\phi}{1}^r \! r \, dr\, d\phi \end{eqnarray*}$
10.12.2009, 13:36	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1\leq r\leq 2cos(\phi) \end{eqnarray*}$
10.12.2009, 13:54	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_\frac{-\pi }{3}^\frac{\pi }{3} \int_1^\frac{2cos(\phi)}{1} \! r \, dr \, d\phi \end{eqnarray*}$ So sieht es dann aus. Ich bekomme dann als Fläche A=0,866 FE, herauskommen soll aber 5/3pi.
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10.12.2009, 14:06	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme da auf ~1.9132, was auch realistisch ist. Diese Kreise haben Radius 1, Fläche eines Kreises ist PiR^2, also ist die Fläche so eines Kreises Pi. Ein Teil davon kann dann doch nicht 5/3Pi sein? Überprüfe bitte die Aufgabenstellung vllt haben wir was verpasst?
10.12.2009, 14:16	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry dann steht im Skript wohl 5/(3pi).Da sind keine Klammern gesetzt .
10.12.2009, 14:30	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
passt trotzdem nicht, übrigens $\begin{eqnarray} \int_0^\frac{2\pi }{1} \int_0^\frac{2cos(\phi)}{1} \! r \, dr \,d\phi \end{eqnarray}$ ist falsch, da Phi ja nicht von 0 bis 2*Pi geht. Irgendwas stimmt da nicht, vllt ist die als richtig angegebene Lösng auch falsch.
10.12.2009, 14:43	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich frag am Montag ob die Lösung richtig sein kann. Vielen Dank für die Hilfe

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