Stetigkeit, Polynome, Grenzwerte

10.12.2009, 11:00

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit, Polynome, Grenzwerte

Halllo

Ich brauche Hilfe bei folgenden Aufgaben:

1. Zeigen sie, dass jede nach oben und unten beschränkte, stetige Funktion reele Zahlen --> reele Zahlen surjektiv ist.

2. Sei die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n)_n \end{eqnarray*}$ bestimmt divergent und die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ konvergiere gegen einen Grenzwert a > 0. Zeigen sie, dass die Folge [latex] (b_n * a_n)_n bestimmt divergiert.

3. Sei p(x) ein Polynome. Bestimmen Sie lim(x gegen - unendlich) p(x) und lim(x gegen undendlich) p(x)

4. Zeigen Sie,dass jedes Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reele Nullstelle hat.

Bei 2. habe ich mir gedacht, dass man das mit den Grenzwertsätzen mache.
Aber bei den anderen habe ich überhaupt keine idee...

LG
estrellla28

10.12.2009, 16:27

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit, Polynome, Grenzwerte
hat denn keiner eine idee?

10.12.2009, 16:41

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 1. schreckt mich ein bisschen ab...

Eine beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ soll surjektiv sein? Das kann mir keiner erzählen...

10.12.2009, 16:42

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

ups das soll unbeschränkt heißem

10.12.2009, 17:06

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

So macht es Sinn.

Mache dir doch mal deine eigene Gedanken. Diese Aussage ist eigentlich sehr einleuchtend. Schließlich wird die Funktion unendlich klein, aber auch unendlich groß. Wegen der Stetigkeit muss doch jeder Wert dazwischen getroffen werden.

10.12.2009, 18:00

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre ja der zwischenwertsatz, aber ich glaube den dürfen wir hier nicht verwenden, es muss noch irgendeine andere lösung geben...

Anzeige

10.12.2009, 18:58

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

leider habe ich zu allen punkten immer noch keine konkrete idee wie ich das beweisen soll, kann mir da denn keiner helfen???
Ich brauch wirklich dringend hilfe!

10.12.2009, 20:14

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich bei 2. die Grenzwertsätze benutzen??

10.12.2009, 20:15

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu 1):
Zeige, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit y < a (nach unten unbeschränkt) bzw. y > a ( nach oben unbeschränkt) gibt.

zu 3): irgendetwas stimmt an deiner Formulierung nicht.

zu 4): Zeige, dass alle Polynomfunktionen stetig sind (dort wo sie definiert sind) und benutze dann den Nullstellensatz von Bolzano.

10.12.2009, 20:36

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

bei 3. bei dem ersten muss -unendlich hin
wir hatten den nullstellensatz von bolzano noch nicht, aber wir haben schon in der vorlesung gehabt, dass polynomfunktionen stetig sind.
bei 1. weiß ich nicht wie ich das machen soll...

10.12.2009, 21:08

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir denn da keiner helfen, bin wirklich am verzweifeln...

10.12.2009, 21:12

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1):
Sei $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ surjektiv. Zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y < a \end{eqnarray*}$ .
Da f surjektiv ist, liegt y im Bild von f, das heißt, f ist nicht nach unten beschränkt.

Jetzt das ganze noch für nach oben unbeschränkt.

zu 3): Überlege dir, ob die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } p(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt existieren, ob sie existieren wenn p(x) unbeschränkt ist.

zu 4): Zeige dass es ein $\begin{eqnarray*} x_a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} p(x) < 0 \end{eqnarray*}$ ist und dass es ein $\begin{eqnarray*} x_b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} p(x) > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Durch die Stetigkeit folgt, dass es mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} p(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

10.12.2009, 21:17

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

1. habe ich immer nocht nicht ganz verstanden, muss man nicht auch benutzen dass f stetig ist?

10.12.2009, 21:25

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Sei $\begin{eqnarray*} f : M \rightarrow N \end{eqnarray*}$ eine Abbildung.

f heißt surjektiv, wenn jedes Element $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ im Bild von f liegt.

Die Stetigkeit sichert, dass jedes Element $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ im Bild von f liegt.

10.12.2009, 21:35

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

und was hat das dann noch mit unbeschränktheit zu tun?

10.12.2009, 21:47

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge M reeller Zahlen heißt nach unten beschränkt, wenn es ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a \leq x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gilt.

Das heißt, nicht jedes Element $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ liegt im Bild von f, also muss f unbeschränkt sein, damit f surjektiv ist.

10.12.2009, 21:56

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht bin ich zu blöd, das verstehe ich aber immer noch nicht. es ist klar, dass es noch ein größeres Element geben muss damit unbeschränkt nach oben, aber warum liegt es dadurch dann im Bild von f? Denn wenn f stetig ist liegt noch sowieso jedes element im Bild von f oder?

10.12.2009, 22:06

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal die Aufgabe:
1. Zeigen sie, dass jede nach oben und unten unbeschränkte, stetige Funktion reeller Zahlen --> reeller Zahlen surjektiv ist.

Das ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das Bild von f ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt.

10.12.2009, 22:16

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann ich denn da jetzt mathematisch richtig beweisen?

10.12.2009, 22:32

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

ok das habe ich jetzt verstanden.

Eine Frage, kann ich bei 2. das mit den grenzwertsätzen machen???

10.12.2009, 22:46

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Da $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist kannst du das mit den Grenzwertsätzen zeigen.

11.12.2009, 09:51

Sete

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht 2 dann so aus?

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty} (b_n)_n = \infty<br /> \lim_{n \to \infty} (a_n)_n = a <br /> a>0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge können wir zeigen, dass damit der Grenzwertsatz gilt:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty} (b_n*a_n)_n = \lim_{n \to \infty} (b_n)_n *\lim_{n \to \infty} (a_n)_n = \infty*a=\infty<br /> <br /> <br /> \Rightarrow (b_n*a_n)_n \end{eqnarray*}$
bestimmt divergent.

11.12.2009, 10:00

Sete

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich das bei 3 richtig, dass wenn p(x) unbeschränkt ist das Polynom ja keinen Grenzwert hat und somit auch nicht bestimmt werden kann?!

Bei p(x) beschränkt verhält es sich doch anders oder?

11.12.2009, 14:42

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

also 1,2, und 4. sind erledigt, mein problem ist 3. Wie bestimme ich die Grenzwerte allgemein von Polynomen?

11.12.2009, 14:45

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

2 ist meiner Meinung nach nicht erledigt. Du hast die Grenzwertsätze benutzt. Die wurden aber bestimmt in eurer Vorlesung nur für konvergente Folgen bewiesen. Entsprechend gelten sie auch nur für konvergente Folgen.

Du musst da schon etwas elementarer direkt über die Definition der Konvergenz und der bestimmten Divergenz gehen.

11.12.2009, 15:24

estrella28

Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann man es denn sonst machen?

11.12.2009, 15:28

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von estrella28
also 1,2, und 4. sind erledigt, mein problem ist 3. Wie bestimme ich die Grenzwerte allgemein von Polynomen?

Wenn du Aufgabe 2 richtig hast (berücksichtige auch noch die Anmerkung von tmo), dann kannst du zeigen,
dass die identische Funktion f(x) = x unbeschränkt (bestimmt divergent) ist. Dann kannst du mit Aufgabe 2 zeigen, dass auch
$\begin{eqnarray*} g(x) = a\cdot x \end{eqnarray*}$
unbeschränkt ist. Danach musst du noch zeigen, dass das Produkt
$\begin{eqnarray*} f(x)\cdot f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$
unbeschränkt ist. Zum Schluss dann noch zeigen, dass die Polynomfunktion
$\begin{eqnarray*} p(x) = a_0 + a_1 \cdot x + . . . + a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$
unbeschränkt ist.

Edit nach Einwand von tmo.

11.12.2009, 15:34

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von outSchool
Jetzt musst du zeigen, dass die Summe unbeschränkter Funktionen auch unbeschränkt ist.

Das stimmt aber leider nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} x+(-x)=0 \end{eqnarray*}$

11.12.2009, 15:57

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, besser wäre

zu zeigen, dass die Polynomfunktion auch unbeschränkt ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »