Integral mittels riemannscher Zwischensummen berechnen

10.12.2009, 13:59

benny123

Integral mittels riemannscher Zwischensummen berechnen

hi erstmal,
ich muss eine aufgabe lösen, aber bekomm die nicht hin...
wär cool wenn ihr mir helfen könntet.
hier die aufgabe:
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int_1^2 \! x^{2} \, dx \end{eqnarray*}$ mittels Riemannscher Zwischensummen.
Hinweis: Berechnen Sie z.B. die Riemannsche Obersumme $\begin{eqnarray*} S(T_{n}) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$ auf [1,2] bezüglich der Zerlegung $\begin{eqnarray*} T_{n}= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} 1+ \frac{i}{n}|i=0,....,n \end{eqnarray*}$ } , $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N, \end{eqnarray*}$ und bestimmen sie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} S(T_{n}) \end{eqnarray*}$ , wobei Sie
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$ ohne Beweis nutzen dürfen.

Vielen Dank im voraus.

10.12.2009, 15:10

Kühlkiste

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RE: Integral mittels riemannscher Zwischensummen berechnen
Wo ist denn das Problem? Es steht doch alles da.

Du musst nur Dein

$\begin{eqnarray*} S(T_n)=\frac 1n\sum_{k=1}^n \left(1+\frac kn\right)^2 \end{eqnarray*}$

ausrechnen.

10.12.2009, 18:04

benny234

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hmm also irgendwie kann ich damit nicht wirklich was anfangen. das erinnert mich an die formel für die obersumme, aber da hört es auch schon auf verwirrt

10.12.2009, 18:55

gonnabphd

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Tipp: einfach mal (...)^2 auflösen und die Gauss'sche Summenformel, sowie die gegebene verwenden!

Du solltest dann etwas von der Form $\begin{eqnarray*} 1+a_n+b_n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_n, b_n \end{eqnarray*}$ ausdrücke mit n sind.

dort dann n gegen unendlich gehen lassen und das war's

10.12.2009, 19:39

Kühlkiste

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Zitat:

Original von benny234
hmm also irgendwie kann ich damit nicht wirklich was anfangen. das erinnert mich an die formel für die obersumme, aber da hört es auch schon auf verwirrt

Na dann wird das wohl nichts mehr! unglücklich

10.12.2009, 20:08

benny432

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also bitte nicht steinigen wenn ichs falsch hab, aber ich hab das mal nach dem schema probiert und bin bei folgendem schritt und komm absolut nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n ((1+\frac{k}{n} )^{2} )=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (1+\frac{2k}{n}+\frac{k^{2} }{n^{2} })= \sum\limits_{k=1}^n (\frac{1}{n} + \frac{2k}{n^{2}} +\frac{k^{2}}{n^{3}}) =\sum\limits_{k=1}^n (\frac{1}{n} + \frac{2k}{n^{2}} +\frac{k^{2}}{n^{3}})= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^n (\frac{1}{n}+\frac{2\sqrt{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)} }{n^{2}} )+\frac{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}=\sum\limits_{k=1}^n (\frac{1}{n}+\frac{2\sqrt{\frac{1}{6}n^{2}(1+\frac{1}{n})2(1+\frac{1}{2n})} }{n^{2}} )+\frac{\frac{1}{6}n^{2}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{n^{3}}) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^n(\frac{1}{n}+\frac{2\sqrt{\frac{1}{6}}n\sqrt{1+\frac{1}{n}}\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{1}{2n}}}{n^{2}}+\frac{\frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n} )}{n}) \end{eqnarray*}$

ich hoffe man sieht was ich versucht hab, also die terme so umzuformen das n beim lim gegen unendlich wefällt. aber entweder hab ich mich verechnet(wahrscheinlich^^) oder ich bekomm das verflixte n nicht weg unglücklich

10.12.2009, 20:37

Kühlkiste

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Du solltest Deine Summe mal aufspalten:

$\begin{eqnarray*} \frac 1n\sum_{k=1}^n\left(1+\frac kn\right)^2=\frac 1n \sum_{k=1}^n 1+\frac 2{n^2}\sum_{k=1}^n k+\frac 1{n^3}\sum_{k=1}^n k^2=\ldots \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst Du nur folgende Werte zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n 1,~\sum_{k=1}^n k, ~\sum_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

diese dann einsetzen und den Grenzübergang für n gegen unendlich - fertig.

10.12.2009, 20:40

gonnabphd

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das, was du machst, ist eigentlich genau was du machen solltest (zumindest von der Idee her), aber paar grobe Fehler sind dabei:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n ((1+\frac{k}{n} )^{2} )=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (1+\frac{2k}{n}+\frac{k^{2} }{n^{2} }) \end{eqnarray*}$

soweit so gut, dann jedoch so

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (1+\frac{2k}{n}+\frac{k^{2} }{n^{2} })=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n 1 + \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \frac{2k}{n} + \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k^{2} }{n^{2} }=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n 1 + \frac{2}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k + \frac{1}{n^3} \sum\limits_{k=1}^n {k^{2}} \end{eqnarray*}$

für die Reihe mit k^2 hast du ja eine Formel, aber für die Reihe mit k kannst du nicht einfach die Wurzel ziehen! Lehrer

bsp.: 1^2+2^2 = 5, 1+2=3 und nicht wurzel(5)...

deshalb sagte ich ja du sollt die Gauss'sche Summenformel verwenden. (wenn du die nicht kennst, suchst du sie halt)

mehr kann ich dir wohl nicht helfen ohne gleich das Resultat hinzuschreiben

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