Konvergenz einer Reihe

10.12.2009, 15:39

Jimmy666

Konvergenz einer Reihe

hallo allerseits, kann mir jemand sagen, wie ich zeigen kann dass die folgende reihe konvergiert? abschätzen und das quotientenkriterium hab ich bereits versucht, es gelang mir aber nichtmals den grenzwert herauszufinden...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^{n^{2}} }{(n+1)^{n^{2}}} \end{eqnarray*}$

mfg

10.12.2009, 16:01

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe
Sicher, dass die Reihe konvegiert? Wenn ich mir den Zähler anseh krieg ich schon nen ungutes Gefühl für Konvergenz. Zeig mal deine Abschätzung.

10.12.2009, 16:10

Jimmy666

Auf diesen Beitrag antworten »

ähm joa, tschuldigung mien fehler
ich soll zeigen ob die reihe überhaupt konvergiert, ich glaub auch nicht dass sies tut, bloß ich weiß nicht wie ich das zeigen soll

10.12.2009, 16:14

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe
Ich finde Abschätzen eine gute Idee - was hast du denn abgeschätzt? #2

10.12.2009, 16:27

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von IfindU
Sicher, dass die Reihe konvegiert? Wenn ich mir den Zähler anseh krieg ich schon nen ungutes Gefühl für Konvergenz.

Nicht immer auf das erste Gefühl verlassen Augenzwinkern

Mit der Bernoullischen Ungleichung folgt z.b. sofort die Majorante $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

10.12.2009, 16:31

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe
Ah, mein Fehler, ich dachte im Nenner steht $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ als Faktor und nicht als Potenz Gott

10.12.2009, 16:34

Jimmy666

Auf diesen Beitrag antworten »

whoa bernoullische ungleichung hab ich noch nie gehört, dürfen wir wohl also auch nicht benutzen -.-

10.12.2009, 16:40

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jimmy666
whoa bernoullische ungleichung hab ich noch nie gehört, dürfen wir wohl also auch nicht benutzen -.-

Kann ich mir eigentlich kaum vorstellen...

Aber ok, dann nimm halt Quotienten- oder Wurzelkriterium.

10.12.2009, 18:59

Jimmy666

Auf diesen Beitrag antworten »

so hab mal das wurzelkriterium angewendet und hoffe dass ihr mir bestätigen könnt dass es stimmt smile

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ \frac{n^{n^{2}}}{(n+1)^{n^{2}}} } = \frac {|n^{n}|} {|(n+1)^{n}|} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac {|n^{n}|} {|(n+1)^{n}|} = e^{1} \Rightarrow divergent! \end{eqnarray*}$

mfg

10.12.2009, 19:00

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{(n+1)^n} = e \end{eqnarray*}$ ?

10.12.2009, 19:18

Jimmy666

Auf diesen Beitrag antworten »

uha hab doch n kleinen fehler gemacht aber die zwischenschritte sehen so aus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty}(\frac{n}{(n+1)})^{n} = \lim_{n \to \infty}(\frac{n}{n} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})})^{n} = \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{(1+\frac{1}{n})})^{n}= \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{-n} = (\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n})^{-1} = (e^{1})^{-1} = e^{-1} \end{eqnarray*}$

also ists doch konvergent laut wurzelkriterium smile

mfg

10.12.2009, 19:25

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon besser Freude

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer Reihe

Verwandte Themen