Ungleichung mit zwei unbekannten

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10.12.2009, 17:13	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit zwei unbekannten Hallo, ich versuche vergeblich eine Ungleichung mit 2 Unbekannten zu loesen, muesste doch eigentlich ganz einfach sein, aber ich bekomme es irgendwie nicht hin... Also hier mein gescheiterter Versuch: $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-1}>\frac{x+s}{x} \end{eqnarray}$ subtrahiere (x+s)/x $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-1} - \frac{x+s}{x} > 0 \end{eqnarray}$ multipliziere mit (x-s) $\begin{eqnarray} x - \frac{(x+s) (x-s)}{x} > 0 \end{eqnarray}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray} x - \frac{x^2 - s^2}{x} > 0 \end{eqnarray}$ multipliziere mit x $\begin{eqnarray} x^2 - x^2 - s^2 > 0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} s^2 < 0 \end{eqnarray*}$ Das ist doch irgendwie falsch. Kann mir einer sagen, wo mein Fehler liegt? Vielen Dank im Voraus!
10.12.2009, 17:18	cutcha	Auf diesen Beitrag antworten »
Schritt 2: "multipliziere mit (x-s)" da hätte ich mit (x-1) multipliziert. Glaube da steckt der Fehler. Da hast du dann (x-1) mit (x-s) gekürzt
10.12.2009, 17:36	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, sorry, sorry, sorry... Ich hab falsch vom Papier abgeschrieben... x-1 kommt gar nicht vor, die erstem beiden Zeilen sind also $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-s}>\frac{x+s}{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-s} - \frac{x+s}{x} > 0 \end{eqnarray}$ Leider kann ich den Beitrag nicht mehr editieren... Mein Problem bleibt also. Was mache ich falsch?
10.12.2009, 17:49	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Du müsstest Fallunterscheidungen machen. Ist x>0 oder x<0 und wie steht s zu x? Danach richtet sich, ob s am Ende größer oder kleiner als 0 ist...
10.12.2009, 17:55	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, x und s sind auf jeden Fall >0. Und sie sind rationale Zahlen. Warum bekomme ich sowas komisches wie s^s < 0 raus?
10.12.2009, 18:32	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
... wie s zu x steht, kann ich nicht sagen. s kann groesser und kleiner als x sein...
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10.12.2009, 19:39	corvus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit zwei unbekannten > " Also hier mein gescheiterter Versuch:...." hallo vogelstrauss $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-1}>\frac{x+s}{x} \end{eqnarray}$ und damit du den Kopf nicht in den Sand stecken musst, mache ich mal Vorschläge, was du vielleicht stattdessen machen könntest: 1) es ist x/(x-1 )= 1 + [ 1/(x-1) ] und es ist (x+s)/x = 1 + s/x also vereinfacht sich deine Ungleichung erstmal zu $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-1}>\frac{s}{x} \end{eqnarray}$ 2) und nun kannst du dir denken, s sei ein reeller Parameter ... 3) dann solltest du mit Fallunterscheidung weitermachen und Achtung: wenn du zB mit x multiplizierst - bleibt die Richtung der Ungleichung unverändert nur wenn x> 0 - aber: für alle negativen Werte von x ändert die Richtung der Ungleichung 4) also solltest du nun die Ungleichung x/(x-1) > s untersuchen im Bereich x>0 .. die ist zB für den Parameterwert s=3 nur erfüllt, wenn x aus (1 , 1.5 ) .. aber mache dir nun selbst Gedanken über den allgemeinen Zusammenhang von x>0 und s wenn x/(x-1) > s 5) dann bleibt dir nur noch die Ungleichung x/(x-1) < s zu untersuchen, die für alle x<0 gilt. ok?
11.12.2009, 12:25	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit zwei unbekannten Hallo, Danke jetzt hab ichs... ...(x-1) war ein Fehler im ersten Post, es solte (x-s) heissen, siehe dritter post.. Also $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-s} > \frac{x+s}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + \frac{s}{x-s} > 1 + \frac{s}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{s}{x-s} > \frac{s}{x} \end{eqnarray}$ multipliziere mit (x-s)x $\begin{eqnarray} sx>sx-s^2 \end{eqnarray}$ subtrahiere sx $\begin{eqnarray} 0>-s^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s^2>0 \end{eqnarray}$ also die Ungleichung haelt fuer alle s!=0. Hatte wohl bei meinem ersten Versuch das Zeichen irgendwo falsch umgedreht... Vielen Dank fuer Eure Hilfe!!
11.12.2009, 15:47	corvus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit zwei unbekannten > multipliziere mit (x-s)x $\begin{eqnarray} \frac{s}{x-s} > \frac{s}{x} \end{eqnarray}$ also die Ungleichung haelt fuer alle s!=0. **************** .................................... echt? teste mal mit einfachen Zahlenbeispielen etwa wenn s=3 und x=1 usw.. ...............................
11.12.2009, 16:01	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit zwei unbekannten Ja, stimmt, es muss denk ich auch gelten: x>s. Warum komme ich aber durch einfaches Umstellen der Ungleichung auf $\begin{eqnarray} s^2>0 \end{eqnarray}$ ?? Ich wuerde gerne die Ungleichung nach x aufloesen, einmal nach s aufloesen und einmal moechte ich x und s auf jeweils einer Seite haben. Was mache ich falsch, dass wenn ich probiere nach x aufzuloesen, sich x eliminiert?
11.12.2009, 16:48	corvus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit zwei unbekannten < .. ich auch gelten: x>s. ...............................................echt?? Warum komme ich aber durch einfaches Umstellen der Ungleichung .. ... weil du nicht liest, was man dir schreibt .. (siehe Beitrag weiter oben) (was ist zu bedenken, wenn eine Ungleichung mit einem "Platzhalter" multipliziert wird?)
11.12.2009, 17:19	vogelstrauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit zwei unbekannten ok, wenn ich also $\begin{eqnarray} \frac{s}{x-s} \end{eqnarray}$ mit (x-s)x multipliziere, muss ich sicher sein, dass (x-s) groesser 0 ist. Weil x und s (nach Bedingung) positiv sein muessen, ist das genau dann erfuellt, wenn x>s. Wenn also x>s ist und x,s >0, dann ist die Ungleichung erfuellt. Wenn x<s ist, dann nicht.
11.12.2009, 23:06	corvus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit zwei unbekannten < x und s sind auf jeden Fall >0. .. auf jeden Fall..? wieso denn? steht das zB explizit so im Aufgabentext? (diese Einschränkung ist ja i.P. nicht unbedingt notwendig) <

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