Richtungsableitung

11.10.2006, 22:48

StefStef

Richtungsableitung

Hallo,

ich sitze nun schon seit Stunden an meinen Hausaufgaben und komme einfach nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir ja weiter helfen.

Mein erstes Problem:
Wir sollen die Richtungsableitung für $\begin{eqnarray*} z= (y+1)^{2} +x\cos(xy) \end{eqnarray*}$ am Koordinatenursprung bestimmen, in die Richtung $\begin{eqnarray*} \tan^{-1}(y/x)=\frac{\pi }{3} \end{eqnarray*}$ .

Den ersten Teil bekomme ich noch gerade so hin. $\begin{eqnarray*} delta z =(\cos(xy) - xy \sin(xy))i + (2(y + 1) - x^{2}\sin(xy))j \end{eqnarray*}$
Wenn ich dann (0,0) einsetze, bekomme ich $\begin{eqnarray*} delta z =(1)i + (2)j \end{eqnarray*}$ . Aber wie kann ich nun die Richtung in Abhängigkeit von i und j bestimmen, so dass ich das ganze als Skalarprodukt multiplizieren kann?

und mein zweites Problem:
Diesmal sollen wir die Richtungsableitung für $\begin{eqnarray*} w = x^{3} + y^{2} + 3z \end{eqnarray*}$ am Punkt (1;3;2) an der Schnittlinie der Oberflächen $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} - 2xz = 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3x^{2} - y^{2} + 3z = 0 \end{eqnarray*}$ in Richtung des ansteigenden z bestimmen.

Mit dem ersten Teil ist wieder alles in Ordnung, aber wie bekomme ich den Richtungsteil hin, ich habe erst versucht das ganze in Punktgleichungen umzuwandeln, um dann die Schnittlinie als Punktgleichung zu bekommen, aber das bringt mich auch nicht viel weiter. Was gibt es also für Möglichkeiten, die Richtung wieder in Abhängigkeit von i und j auszudrücken?

Danke schon mal im Voraus.
Steffi

11.10.2006, 23:23

sqrt(2)

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RE: Richtungsableitung

Zitat:

Original von StefStef
$\begin{eqnarray*} delta z =(\cos(xy) - xy \sin(xy))i + (2(y + 1) - x^{2}\sin(xy))j \end{eqnarray*}$

Also die i-Komponente (z nach x) kommt mir falsch vor.

Zitat:

Original von StefStef
Aber wie kann ich nun die Richtung in Abhängigkeit von i und j bestimmen, so dass ich das ganze als Skalarprodukt multiplizieren kann?

Für den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} \arctan\frac{x}{y}=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{3}y \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von StefStef
Was gibt es also für Möglichkeiten, die Richtung wieder in Abhängigkeit von i und j auszudrücken?

Denk an die analytische Geometrie. Der Richtungsvektor der Schnittgeraden ist sehr hilfreich.

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