Ordnung von Elementen einer Gruppe

10.12.2009, 19:03

Lea

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Ordnung von Elementen einer Gruppe

Hallo
Will folgende Aufgabe lösen:
Gegeben sei dir Gruppe $\begin{eqnarray*} G=(\mathbb Z*_{15}, \cdot) \end{eqnarray*}$
1) Bestimme dir Ordnungen aller Elemente von G. Ist G zyklisch?
2) Bestimme alle Untergruppen von G.
Also ich weiß $\begin{eqnarray*} \mathbb Z*_{15}=\{\overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{7},\overline{8},\overline{13},\overline{14}\} \end{eqnarray*}$
Aber weiß nicht wie ich von diesen Elementen die Ordnung bestimmen soll. Kann mir da jemand weiterhelfen?

10.12.2009, 19:58

Elvis

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1^1=1 , also ord(1)=1
2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16=1 , also ord(2)=4
4^1=4, 4^2=16=1 , also ord(4)=2

Warum ist deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} 11\not\in \mathbb Z_{15}^* \end{eqnarray*}$ ?

10.12.2009, 22:03

Lea

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Vielen Dank für die Antwort. Aber irgendwie verstehe ich das Prinzip noch nicht so ganz. Also warum ist 2^4=16=1? Ich erkenne zwar dass bei der Ordnung von 2 und der Ordnung von 4 wenn ich sie oft genug potenziere 16 rauskommt und und das 16 kongruent zu 1 modulo 15 ist, aber irgendwie bekomme ich das mit der 7 zum Beispiel nicht ganz hin. Ich glaube habe das Prinzip dahinter noch nicht ganz verstanden. Könnte ich das nochmal erklärt bekommen? Will die anderen ja selbst ausrechnen.

Warum ist deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} 11\not\in \mathbb Z_{15}^* \end{eqnarray*}$ :
Das war mein Fehler. Habe sie vergessen einzutippen. Die 11 gehört natürlich dazu.

11.12.2009, 18:45

Elvis

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Tipp: immer modulo 15 rechnen : $\begin{eqnarray*} 7^1=7, 7^2=49\equiv 4, 7^3=7^2*7\equiv 4*7=28\equiv 13, 7^4=7^2*7^2\equiv 4*4=16\equiv 1 \end{eqnarray*}$ also ord(7)=4

12.12.2009, 12:07

Lea

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Danke. Damit konnte ich die fehlenden Ordnungen berechnen. Ich muss also die Zahl potenzieren bis ich kongruent 1 modulo 15 herausbekomme und das ist dann meine Ordnung für das Element. Dann habe ich mir Gedanken, darüber gemacht, ob G zyklisch ist. Bin der Meinung, dass G nicht zyklisch ist, da ich kein $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ finde, für das gilt, $\begin{eqnarray*} G=<a> \end{eqnarray*}$ also G ist gleich, der von a erzeugten Gruppe. Stimmt das und reicht das als Begründung?
und zu 2) Mir ist irgendwie nicht klar wie ich alles Untergruppen von G bestimmen kann. Also ich könnte vielleicht durch probieren, welche herausbekommen, aber dann weiß ich ja noch lange nicht ob das alle sind.

12.12.2009, 12:24

Elvis

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Teil 1 ist fertig. Wenn es kein Element der Ordnung 8 gibt, ist die Gruppe nicht zyklisch.
Zu Teil 2. Du hast schon alle zyklischen Untergruppen bestimmt, als du für jedes Element seine Ordnung berechnet hast.
Jede nichttriviale Untergruppe U<G muss die Ordnung 2 oder 4 haben, denn ord(U) | ord (G) = 8 . Da bleibt nicht viel zu tun übrig. Mach ein Hasse-Diagramm, in das du die zyklischen Untergruppen einträgst. Denke zum Schluß noch ein bißchen über Untergruppen der Ordnung 4 nach (kann es außer den zyklischen noch weitere geben ? (Sylow)).

P.S. "(Sylow)" kannst du vergessen. ord(G)=8 also ist G selbst die 2-Sylowgruppe. Dass es davon genau eine gibt, ist auch nicht sehr erhellend.

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12.12.2009, 13:06

Lea

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Also da habe ich nur ein kleines Problem mit. Ich kenne keine Hassediagramme aus der Vorlesung. Aber meine Untergruppen wären doch dann: Die jeweiligen Restklassen von 1,2,4,7,8,11,13,14 oder?
Leider kenn ich die Sylow- Sätze auch nicht aus der Vorlesung. Habe sie aber nachgeschlagen und bin wegen dieser Folgerung aus den Sätzen: Sei G eine endliche Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl p geteilt wird. Ist G abelsch, so gibt es nur eine p-Sylowgruppe in G. , der Meinung, dass es keine weitere Untergruppe der Ordnung 4 als die zyklischen gibt. Dass eine Gruppe G in der Form wie hier abelsch ist haben wir nämlich bewiesen.
Gibt es sonst noch eine Möglichkeit das zu begründen?

12.12.2009, 18:21

Elvis

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Die 2-Sylowgruppe ist wegen $\begin{eqnarray*} ord(G)=8=2^3 \end{eqnarray*}$ die Gruppe G selbst, deshalb bringt uns das nicht weiter. (Deswegen mein post scriptum. Sorry, das war ein Irrweg.)
Hasse-Diagramme sind eine wunderbare Erfindung von Helmut Hasse. Er stellt den Untergruppenverband so dar, dass unten die Einheitsgruppe E={1}<G steht, oben die Gruppe G. Dazwischen ordnet man die nichttrivialen Untergruppen von unten nach oben nach aufsteigender Ordnung ord(U) an und verbindet zwei Untergruppen U_1, U_2<G genau dann durch eine Linie, wenn U_1<U_2, also wenn U_1 in U_2 (als Menge) enthalten ist. Weil diese Linienverbindung transitiv ist, muss man nur die direkten Teilmengenbeziehungen darstellen, das macht diesen Graphen sehr übersichtlich.
Die Restklassen $\begin{eqnarray*} \overline a\in G \end{eqnarray*}$ sind keine Untergruppen von G. Die von diesen Elementen erzeugten Mengen $\begin{eqnarray*} <\overline a>=\{\overline a, (\overline a)^2, (\overline a)^3, ..., \overline 1\}<G \end{eqnarray*}$ sind zyklische Untergruppen von denen ich gesprochen habe. Diese Untergruppen hast du in Teilaufgabe 1 alle bestimmt, und damit kannst du dir den Untergruppenverband (oder zumindest das meiste davon !) zusammenstellen und im Hassediagramm aufzeichnen.

12.12.2009, 18:30

Lea

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Achso ok. Danke.

Zitat:

Original von Elvis
(oder zumindest das meiste davon !)

Also würden mir noch Untergruppen fehlen?

12.12.2009, 18:40

Elvis

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Das weiß ich nicht so genau, denn ich bin zu faul, deine Aufgabe 1) vollständig zu rechnen. Wenn du mir die vollständige Lösung zu 1) gibst, baue ich das Hasse-Diagramm und weiß dann, ob der Verband vollständig ist.
Vermutlich ja, aber weil ich nicht sicher bin, habe ich die Antwort ein bißchen eingeschränkt.
Man kann's auch dann mit Sicherheit wissen, wenn man alle (Isomorphietypen von) Gruppen der Ordnung 8 kennt.

12.12.2009, 18:50

Elvis

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Die Gruppen der Ordnung 8 sind (siehe http://elscha.bplaced.net/mathe/Gruppen.pdf)

- die zyklische Gruppe $\begin{eqnarray*} Z_8 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_4 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_2 \times Z_2 \end{eqnarray*}$
- die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$
- die Quaternionengruppe $\begin{eqnarray*} Q_8 \end{eqnarray*}$

Wir wissen schon jetzt, dass $\begin{eqnarray*} Z_8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_2 \times Z_2 \end{eqnarray*}$ nicht infrage kommen. Bleiben nur noch 3 Möglichkeiten. verwirrt

verwirrt

12.12.2009, 18:54

Elvis

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Diedergruppe und Quaternionengruppe sind nicht abelsch. smile

smile

12.12.2009, 19:07

Lea

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Hier schonmal meine anderen Lösungen. Den Rest, was du geschrieben hast muss ich mir erst noch genau durchlesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 8^4\equiv 1 mod 15,11^2\equiv 1mod 15, 13^4\equiv 1 mod 15, 14^2\equiv 1 mod 15 \end{eqnarray*}$

12.12.2009, 19:16

Lea

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Zitat:

Original von Elvis
Die Gruppen der Ordnung 8 sind (siehe http://elscha.bplaced.net/mathe/Gruppen.pdf)

- die zyklische Gruppe $\begin{eqnarray*} Z_8 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_4 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_2 \times Z_2 \end{eqnarray*}$
- die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$
- die Quaternionengruppe $\begin{eqnarray*} Q_8 \end{eqnarray*}$

Wir wissen schon jetzt, dass $\begin{eqnarray*} Z_8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_2 \times Z_2 \end{eqnarray*}$ nicht infrage kommen. Bleiben nur noch 3 Möglichkeiten. verwirrt

verwirrt

Es kann doch nur noch - $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_4 \end{eqnarray*}$ sein oder? Alles andere passt ja nicht. Aber ich verstehe nicht so ganz, was mir das bringt, wenn ich das weiß. Wie kann ich daraus schließen, dass ich alle Untergruppen gefunden hab?

12.12.2009, 19:20

Elvis

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Das passt prima, wir haben ord(1)=1, ord(4,11,14)=2, ord(2,7,8,13)=4
Das sind 3 Elemente der Ordnung 2 und 4 Elemente der Ordnung 4, genau wie es sich für $\begin{eqnarray*} G=Z_2\times Z_4 \end{eqnarray*}$ gehört.
Wikipedia sagt etwas über die Untergruppen von G hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

Genau wie ich vermutet habe, sind die Untergruppen alle zyklisch, also hast du alles notwendige in Aufgabe 1 berechnet (siehe oben) smile

smile

12.12.2009, 19:24

Lea

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Ok. Ich kann also nur aus dieser Liste schließen, dass ich alles Unterguppen gefunden habe? oder halt aus dem Hasse-diagramm, dass wie ja auch nicht gemacht haben.

12.12.2009, 19:27

Elvis

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Ja, das Wissen über die abelschen Gruppen der Ordnung 8 ist notwendig und hinreichend. Nachdem du die Ordnung aller Elemente berechnet hast, musst du jetzt nur noch aufschreiben, welche zyklischen Gruppen sie bilden.

Nebenbemerkung : Das Hasse-Diagramm habe ich jetzt fertig. Es passt wie erwartet genau zur $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_4 \end{eqnarray*}$ .

12.12.2009, 19:47

Lea

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Ok. Jetzt muss ich nur mal schauen, wie ich das mache, da ich das Wissen laut Vorlesung nicht habe. Dann habe ich nur noch eine Frage: Warum steht den bei Wikipedia unter echte Untergruppen der Ordnung 8 bei $\begin{eqnarray*} Z_2\times Z_4 \end{eqnarray*}$ : Dass es 2 Untergruppen des Typs $\begin{eqnarray*} Z_4 \end{eqnarray*}$ 3 des Typs $\begin{eqnarray*} Z_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ gibt?

12.12.2009, 20:04

Elvis

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Super, du hast das besser verstanden als ich. Gott

Gott

Weil $\begin{eqnarray*} 11*4=44\equiv 14 \end{eqnarray*}$ hast du auch noch die $\begin{eqnarray*} D_2=Z_2\times Z_2=\{1,4,11,14\} \end{eqnarray*}$ als nichtzyklische Untergruppe in $\begin{eqnarray*} G=\mathbb Z_{15}^* \end{eqnarray*}$ . Das Dingens heißt auch "Kleinsche Vierergruppe".

12.12.2009, 20:08

Lea

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Aber dann habe ich immer noch mehr als bei wikipedia stehen. Ich nämlich 4 der Ordnung 4 und 3 der Ordnung 2. Und da steht was anderes.

13.12.2009, 14:01

Elvis

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Welche Elemente haben deine zyklischen Gruppen der Ordnung 4 ?

13.12.2009, 14:23

Lea

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Meine zyklischen Untergruppen der Ordnung 4 sind:
$\begin{eqnarray*} <\overline 2>=\{\overline 2, \overline 2^2, \overline 2^3, \overline 2^4\} \end{eqnarray*}$ und das gleiche nur anstatt die 2, die 7, 8, und die 13.

13.12.2009, 14:29

Elvis

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Die erste Z4 würde ich schreiben als $\begin{eqnarray*} <\overline 2>=\{1,2,4,8\} \end{eqnarray*}$ . Mach das mal mit den anderen 3 Z4-Gruppen, dann siehst du genau, welche Elemente sie enthalten.

13.12.2009, 14:39

Lea

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Also $\begin{eqnarray*} \{1,2,4,7,8,13,49,64,169,343,512,2197\} \end{eqnarray*}$ sind die Elemente der zyklischen Untergruppen der Ordnung 4. was soll mir das denn sagen?

13.12.2009, 14:53

Elvis

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Nein, jetzt bist du auf dem Holzweg.
Ist G eine Gruppe, so heißt eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} U\subset G \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , in Zeichen $\begin{eqnarray*} U<G \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist. Eine Untergruppe der Ordnung n hat n Elemente.
Für $\begin{eqnarray*} G=\mathbb Z_{15}^* \end{eqnarray*}$ haben wir die trivialen Untergruppen E={1} und G ("trivial", weil das für jede Gruppe so ist).
Zyklische Untergruppen der Ordnung 2 sind isomorph zur Z2, hier sind das die Untergruppen {1,4}, {1,11} und {1,14} . Sie werden erzeugt von den 3 Elementen der Ordnung 2. Ihre Vereinigung {1,4,11,14} ist eine Kleinsche Vierergruppe isomorph zur D2.
Bleiben noch die 4 Elemente der Ordnung 4, nämlich 2, 7, 8, 13 . Sie erzeugen zyklische Gruppen der Ordnung 4.
Preisfrage: Wie viele Gruppen, und was sind deren Elemente ? Ein Teil der Preisfrage ist schon beantwortet: <2>={1,2,4,8}=Z4

13.12.2009, 15:03

Elvis

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Habe ich mich zu kompliziert ausgedrückt ? Hier ein weiteres Beispiel: <8>={8,4,2,1}=Z4. Jetzt dürfte alles klar sein, oder ?

13.12.2009, 15:03

Lea

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Die müssten dann hoffentlich so aussehen. <7>={1,7,49,343}, <8>={8,4,2,1}, <13>={1,13,169,2197}. Stimmt das? und das ist auch ohne "Restklassenstriche" richtig notiert?

13.12.2009, 15:05

Elvis

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Stimmt, du mußt nur noch in diesen Untergruppen modulo 15 rechnen. In G gibt es doch z.B. kein Element 343.

Jetzt habe ich keine Zeit mehr, das Hasse-Diagramm schenke ich dir zum 3. Advent. Tschüs.

13.12.2009, 15:07

Lea

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Achso!!!
Vielen vielen Dank für die tolle Hilfe. Hat mir wirklich sehr viel gebracht.
Danke!

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