Konvergenz einer Reihe

10.12.2009, 19:49

Doppelkks

Konvergenz einer Reihe

Hi Leute,

ich soll
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{n} \frac{n!}{2^{n^{2} } } \end{eqnarray*}$
auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen.

Zuerst habe ich es mit dem Wurzelkriterium probiert und bin an der Stelle
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n²} \end{eqnarray*}$
hängen geblieben

An dieser Stelle unabhängig von der Nützlichkeit in dieser Aufgabe die Frage:
gilt bei Fakultät noch dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ gegen 1 Konvergiert?

Dann habe ich es mit dem Leibnizkriterium versucht, weil es ja eine alternierende Reihe ist.
Ich habe dann zeigen können, dass es keine monoton fallende Reihe ist.
Kann ich daraus schließen, dass die Reihe divergiert,
oder ist dennoch Konvergenz möglich, die ich dann auf andere Weise zeigen muss?

10.12.2009, 20:20

Dual Space

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RE: Konvergenz einer Reihe
Man überlegt sich leicht, dass $\begin{eqnarray*} n!\leq n^n \end{eqnarray*}$ gilt. Hilft dir das schon weiter?

10.12.2009, 21:56

Doppelkks

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Ich würde sagen daraus lässt sich schließen dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?

Ist schon wem was zu meiner Frage bezüglich dem Leibniz-Kriterium eingefallen?

11.12.2009, 10:16

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Doppelkks
Zuerst habe ich es mit dem Wurzelkriterium probiert und bin an der Stelle
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n²} \end{eqnarray*}$
hängen geblieben

Mit dem Quotientenkriterium geht es 10mal einfacher. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Doppelkks
An dieser Stelle unabhängig von der Nützlichkeit in dieser Aufgabe die Frage:
gilt bei Fakultät noch dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ gegen 1 Konvergiert?

Der Ausdruck hat mit Fakultät nichts zu tun. Wenn das x irgendwie von n abhängig ist, dann muß man das auch da reinschreiben.

Zitat:

Original von Doppelkks
Ich habe dann zeigen können, dass es keine monoton fallende Reihe ist.

So? Ich mache eine Wette, daß die Folge monoton fällt.

11.12.2009, 10:16

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Doppelkks
Ich würde sagen daraus lässt sich schließen dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?

Das würde ich nicht sagen!
Zudem ist die Frage nach dem Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ hier gar nicht von Interesse.

Zitat:

Original von Doppelkks
Ist schon wem was zu meiner Frage bezüglich dem Leibniz-Kriterium eingefallen?

Das könnte man hier zwar bemühen - ist aber gar nicht nötig da die Reihe sogar absolut konvergiert und das siehst Du ohne viel Aufwand mit dem Quotientenkriterium.

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Konvergenz einer Reihe

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