DGL: y'=y^2*sin(x)

10.12.2009, 22:32

Tristram

DGL: y'=y^2*sin(x)

Hallo,

wir haben in der Vorlesung gerade DGLs eingeführt und sollen folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} y'=y^2sin(x) \end{eqnarray*}$

Als Lösungsmethode haben wir für die Form $\begin{eqnarray*} y'=a(x)y \end{eqnarray*}$ gehabt: $\begin{eqnarray*} y=ce^{A(x)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A'(x)=a(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ konstant. Für diesen Typ ist mir der Weg klar, nur wie kann ich nun obige Gleichung mit $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ auf diesen Lösungsweg zurückführen?

10.12.2009, 23:07

gonnabphd

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$\begin{eqnarray*} y'=y^2sin(x) \leftrightarrow \int~\frac{dy}{y^2} = \int~sin(x)~dx+C \end{eqnarray*}$

für y'=yf(x)

$\begin{eqnarray*} y'=y\cdot f(x) \leftrightarrow \int~\frac{dy}{y} = \int~f(x)~dx+C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow ln(y) = F(x) + C \leftrightarrow y=e^{F(x)}\cdot e^C=ce^{F(x)} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c:=e^C \end{eqnarray*}$

10.12.2009, 23:34

Tristram

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Auch mit der ersten Zeile weiß ich nicht wirklich weiter, ist das Trennung der Variablen?

Und den Rest habe ich ja selbst oben bereits geschrieben, das ist wohl nur noch die Herleitung.

10.12.2009, 23:55

gonnabphd

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Das Untere sollte verdeutlichen, wie man von dem Hinweis auf die Lösung kommt. Ich denke mal, dass die Integration von 1/y^2 und sin(x) machbar sein sollte... Dann nur noch nach y auflösen.

11.12.2009, 00:02

Tristram

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Tatsächlich, du hast Recht, man kommt auf $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{cos(x)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y'=\frac{sin(x)}{cos^2(x)}=y^2sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Nur sind mir die Zusammenhänge noch nicht ganz klar... inwiefern sich nun diese Methode von dem anderne Lösungsweg unterscheidet.

11.12.2009, 01:54

gonnabphd

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hmm... ich weiss nicht, ob ich dich richtig verstehe, aber der einzige "Zusammenhang" von der DGL

y'=f(x)y und y'=f(x)g(y) (in diesem Falle g(y):=y^2)

ist wohl, dass man beides auf diese Art und Weise löst/lösen kann. (unter gegebenen Voraussetzungen)

Die Methode zum lösen unterscheidet sich nicht.

Den Fall y'=f(x)y habe ich nur erwähnt, um dir ein Beispiel zu geben, wie man sowas in der Praxis löst.

(allerdings muss ich hier dazusagen, dass ich mich nicht wirklich tiefer mit DGL ausenandergesetzt habe und deshalb auch mein Wissen sehr beschränkt ist.)

11.12.2009, 10:23

Tristram

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Ok, danke, die einzige Frage, die mir jetzt noch bleibt: Muss ich oben eigentlich nicht noch irgendwo die Integrationskonstante einbringen? Oder ist das so korrekt?

11.12.2009, 10:27

Kopfrechner

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> ist das Trennung der Variablen?

Ja.

Die Konstante ergibt sich beim Integrieren, gonnabphd hat dir den Ansatz schön hingeschrieben.

Gruß, Kopfrechner

11.12.2009, 10:40

Tristram

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Ich verstehe bereits nicht, wieso im ersten Beitrag von gonnabphd die Integrationskonstante im Integral auftaucht, macht das nicht erst nach der Lösung des Integrals Sinn?

Und nun sollen wir obige DGL mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(\frac{\pi}{2})=1 \end{eqnarray*}$ lösen. Nur ist $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{cos(x)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ja nicht definiert, also habe ich da wohl irgendetwas falsch gemacht.

11.12.2009, 11:05

gonnabphd

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du hast bei deiner Lösung die Konstante C:=0 gewählt... (bzw. sie einfach vergessen)

€: ob man die Konstante C schon hinschreibt oder nicht, ist glaube ich Geschmackssache. Jedenfalls ist beides korrekt.

(für je zwei Stammfunktionen A(x), B(x) von a(x) gibt es immer eine Konstante C, s.d. A(x) + C = B(x))

11.12.2009, 11:16

Tristram

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Wenn man C auch weglassen kann, wo liegt dann das Problem mit der Anfangsbedingung, für die y dann scheinbar nicht definiert wäre?

Und kann man C einfach hinten dranklatschen: $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{cos(x)}+C \end{eqnarray*}$ ? Mein Problem ist nämlich, dass wenn ich C direkt nach der Integration einfüge: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{y}=-cos(x) + C \end{eqnarray*}$ , dann komme ich nicht mehr auf das obige Ergebnis.

11.12.2009, 11:21

gonnabphd

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Wenn man das C nicht explizit hinschreibt (wie ich das mache) dann muss man es natürlich im Integral selbst sehen. Ein C braucht es jedenfalls immer um die allgemeine Lösung zu bekommen.

Deine erste Lösung ist somit bloss ein Spezialfall. Was du gerade eben geschrieben hast ist völlig korrekt; nurnoch nach y auflösen (bitte auch selber nachprüfen, dass die DGL tatsächlich dadurch gelöst wird).

Ohne C würde es auch keinen Sinn machen, eine Anfangbedingung zu stellen, denn man könnte die Funktion ja gar nicht anpassen...

11.12.2009, 11:23

gonnabphd

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mit gerade eben meine ich -1/y=-cos(x)+c

11.12.2009, 11:26

Kopfrechner

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Zitat:

...
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{y}=-cos(x) + C \end{eqnarray*}$

Aus diesem richtigen Schritt ergibt sich $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{cos(x) - C} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Anfangswerte einsetzen und C bestimmen ...

11.12.2009, 11:35

Tristram

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Danke, jetzt hab ichs glaube ich.

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