globale Minima/Maxima

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11.12.2009, 11:13	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
globale Minima/Maxima Hi, ich versuche grad eine Aufgabe zu lösen bei der man die globalen Maximal/Minimalstellen in einem geschlossenen Intervall ausrechnen soll. Mein Problem sind die Extrempunkte, ich bekomme welche raus - aber irgendwie nicht alle. Die FUnktion lautet $\begin{eqnarray} f(x)=\left\|2x^{2}-1\right\|-\frac{1}{2}x, x\in\left[-\frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray}$ Nutze ich meinen Taschenrechner bekomme ich x=-0.125 als globales Maximum und x=0.7 als globales Minimum raus. Das Maximum deckt sich mit meiner Berechnung aber das Minimum nicht. Ich bin so vorgegangen, dass ich die Funktion in zwei Fälle geteilt hab a) x>=0 und b) x<0 Davon habe ich jeweils die Ableitung gebildet, diese = 0 gesetzt und den ermittelten Wert in f(x) eignesetzt um die Position der möglichen Minimal/Maximalstellen zu ermitteln. Allerdings fällt das Minimum bei meiner Rechnung raus, ich habe keine Ahnung wo der Fehler liegt. Hier mal meine Rechnung: Ich bestimme die erste Ableitung: 2x^2 -1 - (1/2)x für x >=0 -(2x^2 -1) - (1/2)x für x<0 Es gilt $\begin{eqnarray} (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow f'(2x^{2}-1-\frac{1}{2}x)=4x-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow f'(-(2x^{2}-1)-\frac{1}{2}x)=-4x-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Ich bestimme die globalen Minimal/Maximalstellen: $\begin{eqnarray} 4x-\frac{1}{2}=0<br /> <br /> x=\frac{1}{8} <br /> <br /> -4x-\frac{1}{2}=0<br /> <br /> x=-\frac{1}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\frac{1}{8})=\frac{29}{32} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(-\frac{1}{8})=\frac{33}{32} \end{eqnarray}$ d.h. die Kurve hat in den Punkten $\begin{eqnarray} (\frac{1}{8},\frac{-33}{32}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-\frac{1}{8},\frac{33}{32}) \end{eqnarray}$ eine waagerechte Tangente und nur in diesen. Frage1: Wie untersuche ich jetzt rechnerisch welche der Extremstellen auch eine Maximal/Minimalstelle ist? (In diesem Fall ja nur die zweite) Frage2: Wo ist das Minimum geblieben!?
11.12.2009, 14:44	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: globale Minima/Maxima Gut! Zum Glück gibt es Taschenrechner und Computer... Warum unterscheidest Du zwischen $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ ? Bei 0 passiert überhaupt nichts Abartiges. Möchtest Du nicht lieber zwischen $\begin{eqnarray} x\geq x_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x<x_{0} \end{eqnarray}$ unterscheiden, wobei $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ dort ist, wo $\begin{eqnarray} 2x^{2}-1 \end{eqnarray}$ verschwindet? Wenn nämlich $\begin{eqnarray} 2x^{2}-1 \geq 0 \end{eqnarray}$ , dann kannst Du die Betragstriche weglassen und wenn $\begin{eqnarray} 2x^{2}-1 < 0 \end{eqnarray}$ kannst Du mit $\begin{eqnarray} 1-2x^{2} \end{eqnarray}$ weiter rechnen. Aber vorsicht: Mit Ableiten wirst Du kein Minimum finden. Du musst vielmehr untersuchen, was bei $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ passiert
12.12.2009, 13:59	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, ich hab ja untersucht was bei $\begin{eqnarray} \ensuremath{2x^{2}-1<0} \end{eqnarray}$ passiert etc. und kom da halt auf die unten angegebenen Werte wovon einer der beiden auch ein Maximum ist. Aber was meinst du mit 'gucken was bei x0 passiert"?
12.12.2009, 14:30	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich hab jetzt versucht das mit dem VOrzeichenkriterium der ersten Ableitung zu lösen, das Ergebnis ist das selbe. Hochpunkt bei x=-0.125 und tiefpunkt bei x=0.125 ...der teifpunkt kann so aber nicht stimmen wie die grafik zeigt.
12.12.2009, 14:43	corvus	Auf diesen Beitrag antworten »
> ..die globalen Maximal/Minimalstellen in einem geschlossenen Intervall ausrechnen soll. also: diese gesuchten Extrema können nicht nur dort zu finden sein, wo 1) die erste Ableitung den Wert 0 hat sondern evtl auch an Stellen, wo 2) diese Ableitung gar nicht exisiert oder 3) an den Randstellen des geschlossenen Intervalls so wirst du du zB für $\begin{eqnarray} f(x)=\left\|2x^{2}-1\right\|-\frac{1}{2}x, x\in\left[-\frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray}$ eine "Knickstelle" - (an der die Ableitung nicht existiert !) finden bei x=1/sqrt(2) usw also : untersuche alle Möglichkeiten - nicht nur die Nullstellen von f'(x) .. nebenbei: dein Bildchen ist der richtige Graph der Funtion $\begin{eqnarray} f(x)=\left\|2x^{2}-1\right\|-\frac{1}{2}x, x\in\left[-\frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray}$ ok?
12.12.2009, 14:58	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun dann scheint der Plotter vom Forum falsch zu sein, mein Taschenrechner sagt auch, dass der funktionswert bei x ~ 0.7 negativ sein müsste.
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12.12.2009, 15:08	corvus	Auf diesen Beitrag antworten »
> wieso ist der Graph nicht richtig? .. zB weil dein f(x) in (0.5 , 0.9) zwei Nullstellen hat ! und : berechne zB mal f(0.7)= ? ok?
12.12.2009, 15:13	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ok stimmt! Also folgendes: Wenn ich die Funktionswerte für die Intervallgrenzen berechne bekomm ich für x=1 den Wert 0.75 x=-0.5 den Wert 0.5 Setze ich in die Funktion meine Werte rein die ich für f'(x)=0 erhalten habe, bekomme ich folgende Werte raus: $\begin{eqnarray} y_{1}=f(\frac{1}{8})=\left\|2(\frac{1}{8})^{2}-1\right\|+\frac{1}{2}\frac{1}{8}=\frac{29}{32}<br /> <br /> y_{2}=f(-\frac{1}{8})=\left\|2(-\frac{1}{8})^{2}-1\right\|+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{33}{32} \end{eqnarray}$ Damit müsste das globale Minimum doch bei x=-1/8 liegen richtig? Das globale Minimum liegt - wie du schon sagtest bei ~0.7. Aber wie berechne ich das denn!?
12.12.2009, 15:23	corvus	Auf diesen Beitrag antworten »
. Das globale Minimum liegt - wie du schon sagtest bei ~0.7. Aber wie berechne ich das denn!? nein - habe ich nicht gesagt, das Min sei bei 0,7 und was du berechnen sollst für das richtige Minimum , das habe ich dir oben unter 2) schon geschrieben . <
12.12.2009, 15:38	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun wie bestimme ich denn die Stellen an denen die Funktion nicht differenzierbar ist? Ich seh da nur n ganz großes Fragezeichen, tut mir leid! Man könnte ja Werte 'raten' und dann ausrechnen aber das macht ja keinen Sinn.
12.12.2009, 16:25	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man ich wünschte ich hätte mehr Hirnschmalz...wenn ich das jetzt (hoffentlich) richtig verstanden habe, hast du dir die Eigenschaft zu ntze gemacht, dass $\begin{eqnarray} \| x\| \end{eqnarray}$ für x=0 nicht differenzierbar ist. Löse ich denbetrag auf erhalte ich also: $\begin{eqnarray} \left\|2x^{2}-1\right\|=0<br /> <br /> \rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.7 oder x=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx-0.7 \end{eqnarray}$ Bitte lass das richtig sein! Daraus folgt dann, dass das globale Maximum bei $\begin{eqnarray} x=-\frac{1}{8} \end{eqnarray}$ und das minimum bei $\begin{eqnarray} x=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ liegt! Korrekto?
12.12.2009, 16:37	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
You got it! Gratuliere!
12.12.2009, 16:43	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja locker, tausend danke für die Hilfe addor und auch an dich corvus!

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