Stetigkeit von Funktionen erkennen

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NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Funktionen erkennen
Wie erkenne ich bzw. prüfe ich an welchen stellen eine Funktion stetig und unstetig ist?

Z.B. sei die Funktion f:IR nach IR definiert durch



Was muss ich nun ausrechnen, den Nenner gleich Null stetzen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Verständnis
Das interesannte ist hier doch, dass man den natürlichen Zahlen eine andere Funktion zuordnet.




Die beiden Teilfunktionen mal auf IR+0:



Bei Funktion 1 tritt das Problem mit dem Nenner bei einer natürlichen Zahl auf. Dort betrachten wir die Funktion aber nicht.

Bei Funktion 2 gibt es gar kein Problem, da wir nur nicht negative Zahlen betrachten.

Das interessante ist nun die Frage, wir IN in IR liegt. Vergleiche dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion

tigerbine out. Wink
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt also, das in der 1. Funktion, die Nullstellen des Nenner, die beine natürliche Zahl sind (x=1 und x`=2), unstetige Stelle auf f sind, die jedoch durch die 2. Funktion auf den natürlichen Zahlen "aufgefüllt" werden?

Was ist dann mit den restlichen naturlichen Zahlen, sind diese dann unstetig auf f?

Warum betrachten wir f nur für positive x-Werte?

Was ist mit -1, was eine Nullstelle des Nenners der 2. Funktion ist?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hatte ich zu stark eingeschränkt. Sorry. Auf ganz IR. Die (-1) muss dann aber raus, da ist die Funktion nicht definiert.
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Haja klar, soll ja in IN liegen. Also ist f stetig in allen Werten außer in den natürlichen Zahlen ohne {1,2,4}?

Sorry ich meine ohne {1,4}
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum schließt du diese aus? Hast du dir meinen link angeschaut?
 
 
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe ich, aber irgendwie weiß ich nicht genau wie ich sie deuten soll, bzw. auf mein beispiel übertragen soll. Ist meine f dann auch an jeder Stelle unstetig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollst du doch rausfinden....
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich glaube nun zu wissen, dass f nur in x=1 stetig ist, und in allen anderen Werten unstetig.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Beweis sehe ich hier nicht. Nur mal als Anmerkung.
NastyNat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schnittstellen der beiden Teilfunktionen sind (1,f(1)) und (4,(f(4)), an allen anderen Werten für natürliche Zahlen ist f(x) unstetig, da die Funktion an diesen Stellen Sprünge macht. D.h. für x'=3 und x=3,1 gibt es ein Y>0 sodass der Bertrag von x-x'<Y, jedoch ist der Bertag von f(x)-f(x')>=E für alle E>0. Also ist die Funktion stetig für alle x in IR\IN u {1,4}.
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