Abbildungsmatrix mit Basiswechsel

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix mit Basiswechsel
Guten abend miteinander,

habe Basiswechsel und Erstellung einer Abbildungsmatrix mittlerweile ein bisschen besser verstanden und hänge nun an einer Aufgabe, wo beides verlangt ist:


Gegeben sei die lineare Abbildung mit



a) Berechnen Sie die Matrix B, die die Abbildung bezüglich der folgenden Basen ausdrückt:

im und , im



So los gehts:

Also die Matrix oben ist ja die Abbildungsmatrix für die Abbildung der Form:
R³-->R² : x -- > Ax

Wobei A nun meine Abbildungsmatrix ist. Das heißt ja, dass hier vorerst kein Basiswechsel stattfindet, ich lediglich folgendes habe:




Schnelle Frage: Das hier ist doch im Prinzip auch ein Basiswechsel? Weil ich stelle den Vektor x durch eine Abbildungsmatrix dann anders dar , eben in einer neuen Base. Oder muss für ein Basiswechsel gelten, dass man sich im gleichen Vektorraum befindet vor und nach der Abbildung?



Weiter:

Mein vorgehen wäre nun, dass ich den Vektor \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} , der in der Einheitsbase gegeben ist, nun durch die Base v ausdrücke, eben durch eine "id"-Abbildung ("id"-Matrix) .

Aber sonst weiß ich nicht wirklich weiter

Die Abbildung ist ja in der Standardbasis E gegeben, oder?
Also praktisch wäre meine Matrix oben: oder wäre sie :

Wenn Sie wäre, dann müsste ich nach suchen

Wenn Sie wäre, dann müsste ich nach suchen.


Denke aber eher dass es ist, da ja Urbildraum nicht gleich dem Bildraum ist?

Weiß nicht wirklich was richtig ist...

Habe in meinem Skript gefunden:



E und B wären folglich hier bei mir v und w oder? Aber hier kommt ja gar nichts vor von einer .


Vielleicht sollte ich mal klären was wäre, was wäre, oder was

da herrscht bei mir großes wirwarr...

Wäre super wenn mir hier das jemand erklärt und auch mir paar Tipps für die Aufgabe geben kann.

Dankeschön
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix mit Basiswechsel
So langsam solltest du aber mal was klarer sehen. Ich rede mir den Mund ja schon fusselig...

Zitat:

Vielleicht sollte ich mal klären was wäre, was wäre, oder was


Das ist doch ganz einfach.
Alpha: LinAbb von V ->W

: Abbildung Alpha bzgl. Basis E (von V) und Basis E von (W)
: Abbildung Alpha bzgl. Basis C (von V) und Basis B von (W)
: Identität als LinAbb. bzgl. Basis E

Falls ich die Räume vertauscht habe, schau im Skript nach, wie ihr eure Notation definiert habt.

In der Aufgabe steht doch ganz deutlich, was du machen sollst. Du sollst die gegebene Matrix, die eine LinAbb bzgl. bestimmter Basen (wenn nix da steht eben E) darstellt, bzgl. anderer Basen darstellen.

Zitat:

Gegeben sei die lineare Abbildung mit



a) Berechnen Sie die Matrix B, die die Abbildung bezüglich der folgenden Basen ausdrückt:

Basis von V: im


Basis von W: , im


Also mache aus die Matrix . Wie das geht haben wir doch schon besprochen.
 
 
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So langsam solltest du aber mal was klarer sehen. Ich rede mir den Mund ja schon fusselig...


Ich weiß, aber wenn mans nich kapiert frägt man eben lieber solange bis mans kapiert.


Das heißt also meine Matrix: ist . Und die Base von V ist und die von W ebenfalls . Also wenn man es eben als Abbildung von V-->W auffasst. Deshalb auch die beiden "E" am alpha:, richtig?


Zitat:
Also mache aus die Matrix . Wie das geht haben wir doch schon besprochen.


Wie hatten besprochen wie man die lineare Abbildungsmatrix erstellt, wenn man Urbild und Bild von Vektoren kennt. Aber wie man eine lineare Abbildung mit 2 Basen auf 2 andere Basen umrechnet,leider nicht...


Möglichkeit 1)

Über:

Wobei W eben die Base W ist mit und
Und V eben die anderen 3 Basen sind.


Das heißt ja:

Ich berechne die Base E (vom Vektorraum W) in die Base W um, also mache ich eine identische Abbildung von der Base E in die Base W mit und .


Und dann berechne ich noch die die identische Abbildung von E (vom Vektorraum V) in die Base V , und nehme davon dann die Inverse um:
zu erhalten.


Stimmt das so?

Gibt es auch noch eine andere Möglichkeit?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mag mich hier aber auch nicht andauernd wiederholen... Augenzwinkern

Zitat:
ist

ja. Der Rest ist Unsinn. Ein Vektor kann doch keine Basis eines Mehrdimensionalen Raums sein. Die Basisvektoren heißen einfach "e" mit entsprechendem Index und haben dann die Koordinatenvektorn

etc. und

Wie man den Basiswechsel der darstellenden Matrix macht, steht in meinem Workshop.

Dein Weg scheint zu stimmen, aber nenne doch bitte die Basen nicht genau wie die Räume.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen Dank...

1) nur was mir Schwierigkeiten bereitet, ist zu sehen, was die Basen jeweils vor und nach der Abbildung sind.

Weil vor der Abbildung sind Sie hier z.B.

etc.

und nach der Abbildung

Aber das sind doch hier dann nicht die gleichen Basen in V und in W (also für V-->W).Somit wäre doch nicht richtig. Im Prinzip ändert (in meiner Sicht) die Abbildung ja auch die Basen, also in meinem Verständnis ist jede Abbildung eine Änderung der Basen, aber das scheint ja nicht zu stimmen...

2) wenn ich nun bezüglich der Basis und ausrechnen soll, bedeutet dass jetzt, dass der Vektor aber in der Base V gegeben ist , und nicht in der Base E.

3) Angenommen bei Punkt 2) ist richtig, dass in der Base V gegeben ist und nicht in Base E:

Wie würde das funktionieren, wenn ich die Abbildung berechnen möchte bezüglich der Base E (von V) und der Base W (dann von W) also praktisch:

, sodass ich einen vektor in E gegeben habe und ich ihn dann in der Base W abbilde, anstatt in Base E .

Kann ich das dann auch so machen:




Bloß was wäre dann , wäre dass dann die Einheitsmatrix?


Beste Grüße


PS: Habe jetzt die Basenbezeichnung beibehalten, in Zukunft werde ich dann wie gewünscht die Basen nicht mehr den Räumen nach entsprechend benennen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum machst du dir das Leben so kompliziert... Ich passe nun die Formulierungen an mein Programm an.

Zitat:

Gegeben sei die lineare Abbildung mit der darstellenden Matrix M1 bzgl. der Einheitsbasen(B1) von V und W



Berechnen Sie die Matrix M2, die die Abbildung bezüglich der folgenden Basen ausdrückt:

B2 von V:
B2 von W: ,


Wie man S und T berechnet steht im Workshop.
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
51:
52:
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 1 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [0,1,0]
Vektor 3: [0,0,1]
Koordinaten der Basis 2 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,1,1]
Vektor 2: [1,1,0]
Vektor 3: [1,0,0]
 
Koordinaten der Basis 1 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0]
Vektor 2: [0,1]
Koordinaten der Basis 2 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,3]
Vektor 2: [2,5]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [2,5,-3;1,-4,-7]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     1     1
     1     1     0
     1     0     0
M1 =
     2     5    -3
     1    -4    -7
TI =
   -5.0000    2.0000
    3.0000   -1.0000
M2 =
  -40.0000  -41.0000   -8.0000
   22.0000   24.0000    5.0000


Deine Punkte sind schon wieder sehr wirr aufgeschrieben. Und schon 1 ist falsch. Ich weiß langsam echt nicht mehr, wie ich es dir erklären soll.

Wir haben eine Basis 1 in V und eine in W. Das soll jeweils die Standardeinheitsbasis sein. Aufgrund der Dimensionen sind das aber natürlich veschiedene Basen, auch wenn man für beide E schreibt.

B1 von V:
B1 von W: ,

Bzgl. dieser Basen haben wir die Darstellende Matrix unserer Linearen Abbildung wie folgt:



Nun kann man einen Vektor v aus V bzgl seiner Koordinaten bzgl. B1 aus V eingeben und erhält dann einen Koordinatenvektor von w aus W bzgl. B1 aus W.



Für e1 zum Beispiel



Wie sieht das nun mit dem Basiswechsel aus? Input in M2 muss natürlich ein Vektor sein, der bzgl. B2 von V dargestellt ist und raus kommt ein Vektor w der bzgl. B2 von W dargestellt ist.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

ok also habs nun so ca. 80% geschnallt, der Rest wird auch noch kommen...

nur ne Anmerkung, die zweite Standardeinheitsbase von R² ist und nicht ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Er wird doch. Big Laugh
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