beliebiges dreieck und rechteck mit Fmax |
| 10.06.2004, 13:04 | mathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » |
| beliebiges dreieck und rechteck mit Fmax Hab ein Anliegen auf das ich bisher keine Lösung finden kann: Wie bekommt man die maximale Rechtecksfläche heraus, die einem x-beliebigen Dreieck einbeschrieben werden kann? Zur Info: es sind keine Angaben gemacht, also keine Punkte noch irgendwelche anderen Anhaltspunkte! Wie die Lösung für gleiseitige Dreicke funktioniert weis ich schon. Vielen Dank schon mal im Vorraus! MfG Mathematiker |
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| 10.06.2004, 14:27 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich nehme an, dass "einbeschrieben" heißt, dass alle Ecken des Rechtecks auf dem Dreieck liegen, und dass eine Rechteckseite auf einer Dreiecksseite liegt. Damit ergibt sich die unten abgebildete Situation. An welcher der drei Seiten das Rechteck anliegen sollte, weiss ich noch nicht, deshalb berechne ich erstmal die Fläche des Rechtecks in dieser Situation. Die anderen beiden Situationen sind dann mit analogen Formeln zu bestimmen. Die Dreiecksseiten sind wie üblich mit a,b,c bezeichnet, die Höhe des Rechtecks sei h (also senkrecht zur Grundseite c), die Breite sei x. Die Höhe des Dreiecks in der Ecke C sei H. Zu vorgegebener Höhe h bestimmen wir die maximale Breite x, und daraus eine Formel für die Fläche in Abhängigkeit von h. Mittels Strahlensatz erkennt man die Formel: x : c = (H-h) : H, also x = c (H-h)/H. Die Fläche ist also F(h) = h c (H-h) / H = h c - h^2 c / H. Abgeleitet ergibt sich F'(h) = c - 2 h c / H, die Nullstelle der Ableitung ist bei H / 2. Dort ist das Maximum der Funktion F, weil sie eine nach unten geöffnete Parabel ist. Die maximale Fläche ergibt sich also zu F_max = H/2 c H/2 / H = c H / 4 = 1/2 F_dreieck Dieses Maximum ist unabhängig davon, an welcher Seite das Rechteck anliegt. |
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| 10.06.2004, 20:40 | mathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo! Vielen vielen vielen Dank für die super schnelle und kompetente Antowort! Viel Glück! MfG Mathematiker |
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