Fläche als Menge von Punkte (x; y), die eine Bedingung erfüllen

11.12.2009, 20:02	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche als Menge von Punkte (x; y), die eine Bedingung erfüllen Hallo, ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter und bitte um Hilfe Zeigen Sie, dass der skizzierte Bereich $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ durch die Menge aller Punkte (x; y), deren Polarkoordinaten zur Menge “: $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{4} \leq \theta\leq \frac{3\pi }{4}, 0\leq r\leq sin(\theta) \end{eqnarray}$ gehören, bestimmt ist. Tipp: Ersetzen Sie die Polarkoordinaten r und Theta durch x und y mit Hilfe von $\begin{eqnarray} x = r cos(\theta);<br /> y = r* sin(\theta)<br /> x^2+y^2 =r^2 \end{eqnarray}$ und formen Sie die Gleichung anschließend in eine Kreisgleichung um. Ich weiß nicht so recht was genau ich jetzt machen soll. Also zuerst $\begin{eqnarray} r=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r=sin(\theta) \end{eqnarray}$ ins kartesische umwandeln? das wäre glaub ich $\begin{eqnarray} y=sin²(\theta) \end{eqnarray*}$ wie soll ich weitermachen? Vielen Dank schonmal Edit: Link vom Bild zu externem Anbieter entfernt; bitte Bilder direkt im Forum hochladen ! system-agent
12.12.2009, 15:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Grund der Tatsache, dass in den betrachteten Quadranten 1 und 2 gilt: $\begin{eqnarray} 0 \leq \sin \theta \leq 1 \end{eqnarray}$ und der Angabe $\begin{eqnarray} 0 \leq r \leq \sin \theta \end{eqnarray}$ sehen wir, dass dieselbe Beziehung auch für den Betrag der komplexen Zahl besteht: $\begin{eqnarray} 0 \leq r \leq 1 \end{eqnarray}$ Der Kreis, um den es sich handelt, hat aber eine andere als die angegebene Gleichung, nämlich: $\begin{eqnarray} x^2 + (y - \frac 1 2)^2 = \frac 1 4 \end{eqnarray}$ Von dem Kreis werden die Bereiche unterhalb jener beiden Geraden abgeschnitten, die mit der reellen Achse einen Winkel von 45° bzw. 135° bilden, das sind gerade jene Winkel, die die Grenzen des für den Winkel $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ angegebenen Bereiches darstellen. Somit ist unschwer zu zeigen, dass jeder Pfeil, der im Nullpunkt beginnt und auf der Umrandung des skizzierten Bereiches endet (d.i. jede komplexe Zahl), den in der Aufgabe vorgegebenen Bedingungen genügt. mY+
13.12.2009, 00:30	rosario	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen vielen Dank für deine Hilfe. Wenn ich es richtig verstanden habe, kann ich jetzt in die Gleichung: $\begin{eqnarray} x^2 + (y - \frac 1 2)^2 = \frac 1 4 \end{eqnarray}$ alle Punkte die auf der Umrandung ab 45° bis 135° liegen einsetzen und es kommt immer 1/4 heraus. Ist damit die Aufgabe schon bewiesen? Sieht mir irgendwie zu einfach aus dafür dass ich Stunden der Aufgabe saß
13.12.2009, 02:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Betrag der zu den Randpunkten gehörenden Vektoren (komplexen Zahlen) kann höchstens gleich 1 werden (im höchsten Punkt). Ausser im höchsten Punkt ist der Betrag jedoch immer kleiner als 1. Damit und mit den Winkelgrenzen sind die vorgegebenen Bedingungen erfüllt. () Du kannst die Distanz eines beliebigen Punktes der Kreislinie zum Nullpunkt berechnen und gegen 1 abschätzen. mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »