Monotonie der Exponentialfunktion und mehr ;-)

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Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie der Exponentialfunktion und mehr ;-)
Guten Abend, mal wieder.
Neuer Übungszettel, neues Glück. Eigentlich habe ich soweit alles bis auf eine Aufgabe, aber ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob das wirklich so einfach ist, wie es mir erscheint, darum hier Aufgabe und Beweis, vielleicht ist ja ein Fehler drin ?!



Soweit so gut, die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion auf streng monoton wachsend ist.
Meine Lösung:









Ist das falsch ? Muss ich noch begründen, dass ist ?

Grüße
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde, das sieht gut aus. Du solltest vielleicht kurz begründen, dass , denn nur dann gilt ja

/EDIT: Mache dir dazu Gedanken über die Summe (Was du ja auch schon angedeutet hast...

/EIDT: Habe das "kurz" mal in kursiv gesetzt, so kurz ist es ja nun doch nicht. Je nach Tatsachen die du schon benutzen kannst.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Alles perfekt was du machst Freude .
Tatsächlich liegt die Hauptaufgabe darin zu zeigen, dass ist.

Da kannst du auch gleich allgemein zeigen, dass für alle mit .
Und da kommt die Frage was du nutzen darfst. Zum Beispiel kannst du so vorgehen:
(i) , also für alle .

(ii) Du weisst, dass . Zeige nun, dass für alle .
Hinweis: Zwischenwertsatz.

(iii) Nun die Reihendarstellung nutzen, also .
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dunkit
Ich finde, das sieht gut aus. Du solltest vielleicht kurz begründen, dass , denn nur dann gilt ja

/EDIT: Mache dir dazu Gedanken über die Summe (Was du ja auch schon angedeutet hast...

/EIDT: Habe das "kurz" mal in kursiv gesetzt, so kurz ist es ja nun doch nicht. Je nach Tatsachen die du schon benutzen kannst.


Danke euch beiden, hatte gestern nacht noch ein wenig drüber nachgedacht. Im Limes wird < ja unscharf.

für alle n, ist die Reihe monoton wachsend, also größer als die nullte Partialsumme, welche 1 ist.

[edit]Den Zwischenwertsatz kenne ich noch nicht.[/edit]

Ich hab hier noch eine Aufgabe, an der ich gerade hänge, aber um das zu verlatexen brauch ich erstmal einen schönen Kaffee. Sozusagen bis gleich. :-)
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Sicherheit habe ich jetzt doch lieber abgeschätzt und denke, dass das soweit ok ist.

In der nächsten Aufgabe, heißt es:





Zeigen Sie nun, dass für diese Formel mit der bereits bekannten Formel für Binomialkoeffizienten übereinstimmt und dass die

Reihe absolut konvergiert.

Zum ersten Teil, habe ich eine Fallunterscheidung gemacht. Zunächst durch addieren diverser Nullen behauptet, dass

ist.

Im Fall kommt nach Definition 1 heraus, was schonmal stimmt.

Für muss es ein geben, so dass

und , also ist das Produkt 0, da einer der Faktoren 0 ist und somit stimmen beide Definitionen überein. Für den dritten Fall, habe ich folgende Umformung gemacht, bei der ich mir auch nicht sicher bin, dass die Korrektoren nicht noch mehr Erläuterungen dazu wollen:



Bliebe noch die Konvergenz für zu zeigen. Erst dachte ich ja, ich könnte die Reihe einfach gegen abschätzen, dann fiel mir auf, dass die Faktoren irgendwann alle negativ werden, da es immer ein n geben muss, so dass alle weiteren n> a sind. unglücklich Und nun stecke ich da ziemlich ideenlos fest.

[edit] Und das ist wahrscheinlich auch Blödsinn, a ist ja aus C und C ist ja sowieso nicht geordnet. *seufz*

Grüße
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

So, alles nochmal von vorn aufgedröselt.
Die erste Aufgabe ist nun fertig soweit,

Bei der Konvergenz von für reelle a > 0 komme ich nicht weiter.
Ich habe mir überlegt, dass die absolute Konvergenz im Falle trivial ist, weil ja für alle n > a gilt, für den Fall bin ich aber noch genauso ideenlos, wie zuvor auch.

Auch für die dritte Aufgabe: "Finden Sie eine Folge, die schneller wächst als jede noch so große Potenz, aber langsamer als jede noch so kleine Exponentialfunktion" klappt bislang auch nichts. Ich hatte zwar eine Menge Ideen, aber keine davon führte zum Ziel.

Help ? :-)
 
 
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