Teilbarkeit allgemein beweisen

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12.12.2009, 13:36	ehtaM	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit allgemein beweisen Hallo zusammen, es soll gezeigt werden, dass die Periodenlänge des Bruchs 1/k ein Teiler von phi(k) ist, falls ggT(k,10)=1. Meine bisherigen Überlegungen sind: Da ggT(k,10)=1 folgt, dass in der Primfaktorzerlegung von k die Primzahlen 2 und 5 nicht vorkommen. Also sähe phi(k) allgemein folgendermaßen aus: phi(k)= $\begin{eqnarray} (p_1^{a1}-p_1^{a1-1})\cdot(p_2^{a2}-p_2^{a2-1})\cdot...\cdot(p_n^{n}-p_n^{n-1}) \end{eqnarray}$ mit p ungleich 2 und 5 Periodenlänge von 1/k ergibt sich aus der Kongruenz: [latex]10^{n} \equiv 1(modk)[latex] n ist die Periodenlänge. n soll ja phi(k) teilen, anders dargestellt n\|phi(k). daraus folgt, es gibt ein m in Z, so dass gilt m*n=phi(k) mit diesen Überlegungen komme ich jedoch nicht weiter. Würde mich freuen, wenn mir Jemand einen Tipp geben könnte bzw. mir mitteilt, ob ich meine Überlegungen überhaupt in die richtige Richtung gehen. Danke im Voraus...
12.12.2009, 13:38	ehtaM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit allg. beweisen Habe mich bemüht Latex zu verwenden. Hat leider nicht ganz geklappt. 10^n kongruent 1 (mod k) sollte das werden.
12.12.2009, 14:27	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Periodenlänge von 1/k mit ggT(k,10)=1 ist nicht nur irgendein n, mit $\begin{eqnarray} 10^n \equiv 1 \mod k \end{eqnarray}$ sondern das kleinste n aus dem Bereich der positiven ganzen Zahlen, also das, was üblichwerweise als Ordnung von 10 mod k bezeichnet wird... Diese Ordnung hat aber nun die bemerkenswerte Eigenschaft, jedes andere n, für welches obige Beziehung gilt zu teilen...Eines davon ist aber $\begin{eqnarray} \varphi(k) \end{eqnarray}$ , nach dem Satz von Euler-Fermat...
12.12.2009, 15:44	ehtaM	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dir, denke habs jetzt: phi (k)= $\begin{eqnarray} r_1,r_2,r_3,...,r_{phi(k)}[latex]<br /> [latex]r_i[latex] sind teilerfremd zu k<br /> 10 ist ebenfalls teilerfremd zu k<br /> daraus folgt, dass 10 [latex]r_i[latex] ebenfalls teilerfremd zu k<br /> <br /> [latex]10r_110r_210r_3...10r_{phi(k)}= 10^{phi(k)}r_1r_2...r_{phi(k)} \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} 10^{phi(k)}r_1r_2...r_{phi(k)}=r_1r_2...r_{phi(k)}(modk) \end{eqnarray}$ teilt man nun durch $\begin{eqnarray} r_1r_2...r_{phi(k)}[latex]<br /> erhält man<br /> [latex]10^{phi(k)}\equiv1(modk) \end{eqnarray}$ da Periodenlänge n für die kleinste positive ganze Zahl: $\begin{eqnarray} 10^n\equiv1(modk) \end{eqnarray*}$ gilt folgt, dass n\|phi(k)
12.12.2009, 15:46	ehtaM	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry klappt noch nicht ganz mit latex... :-( aber wie gesagt danke. Denke ich habs.
12.12.2009, 15:50	ehtaM	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dir, denke habs jetzt: phi (k)= $\begin{eqnarray} r_1,r_2,r_3,...,r_{phi(k)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_i \end{eqnarray}$ sind teilerfremd zu k 10 ist ebenfalls teilerfremd zu k daraus folgt, dass 10 * $\begin{eqnarray} r_i \end{eqnarray}$ ebenfalls teilerfremd zu k $\begin{eqnarray} 10r_110r_210r_3...10r_{phi(k)}= 10^{phi(k)}r_1r_2...r_{phi(k)} \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} 10^{phi(k)}r_1r_2...r_{phi(k)}=r_1r_2...r_{phi(k)}(modk) \end{eqnarray}$ teilt man nun durch $\begin{eqnarray} r_1r_2...r_{phi(k)} \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} 10^{phi(k)}\equiv1(modk) \end{eqnarray}$ da Periodenlänge n für die kleinste positive ganze Zahl: $\begin{eqnarray} 10^n\equiv1(modk) \end{eqnarray}$ gilt folgt, dass n\|phi(k)
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16.08.2019, 23:03	poiuh	Auf diesen Beitrag antworten »
Halle ehtaM, wenn k prim ist, ist phi(k) = 2. Setzt man 2 in 10^(phi(k)) == 1 (mod k) ein, gilt dies nur, wenn k nicht prim ist oder k = 101. Da 101 prim ist, kann diese Formel leider nicht für alle Primzahlen gelten, sondern nur für eine. Sollte es aber von Anfang an nur um zusammengesetzte Zahlen k gehen, stimmt es. LG Alexander
16.08.2019, 23:06	poiuh	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich habe mich vertan, phi(k) mit primen k ist phi(k) = k-1. Und so gilt die Formel auch für Primzahlen. LG
17.08.2019, 08:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} 10^2\equiv 1\bmod k \end{eqnarray}$ folgt übrigens $\begin{eqnarray} k\mid 99 \end{eqnarray}$ , was mitnichten von $\begin{eqnarray} k=101 \end{eqnarray}$ erfüllt wird.

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