Parabel

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peter_k Auf diesen Beitrag antworten »
Parabel
Bezüglich eines kartesischen Koordiantensystems sei der Punkt und die durch die Gleichung beschriebene Gerade G gegeben. P sei die Parabel mit der Leitgeraden G und dem Brennpunkt A.

a) Bestimmen Sie die Punkte von P, die zu A und G den Abstand haben.

....

---------------------------------

Nun weiß ich ja, dass die Parabel die Menge der Punkte ist, dessen Abstand zu A gleich dem Abstand zu G ist. Kann ich aus dieser Kenntnis auch eine "normale" Parabelgleichung aufstellen? Weil irgendwie weiß ich nicht wie ich sonst Aufgabe a) bearbeiten soll.

Danke schonmal im Voraus für Tips.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parabel
Punkt Q (x; y) sei ein Punkt auf der Parabel.

Dann ist seine Entfernung von P:

Die Entfernung ist aber auch der Lotabstand von der Geraden:

Damit kannst Du schon einmal Dein Beispiel lösen, da ja die Entfernung bekannt ist.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man kann auch eine "normale" Parabelgleichung aufstellen. Die Leitgerade ist parallel zur y-Achse, daher ist die Achse der Parabel parallel zur x-Achse. Da der Brennpunkt links von der Leitgeraden liegt, ist die Parabel nach links offen. Es handelt sich also um eine paralleverschobene Parabel, ihr Parameter p ist der Abstand des Brennpunktes A von G, demnach -4, weil nach links gerichtet. Der Scheitel halbiert diesen Abstand und liegt demnach bei (0;3).

Die Gleichung dieser Parabel lautet algemein

(y - n)^2 = 2p(x - m), wobei S(m; n) die Koordinaten des Scheitels sind.

Damit entsteht exakt die selbe Gleichung wie jene, die aus dem Gleichsetzen der von Gualtiero angegebenen Abstände resultiert.

mY+
peter_k Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank!

Ich habe dann nun um die Punkte zu bestimmen folgende Gleichung versucht zu lösen:



Nach einigen Äquivalenzumformungen habe ich dann:



Aber wie kann ich die Gleichung lösen? Steh irgendwie aufm Schlauch verwirrt
peter_k Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, wenn ich mit dem Abstand zu G beginne dann bekomme ich schonmal die x-Werte von Q.

Habe ich das so richtig gemacht?:

F sei der Fußpunkt des Lotes von Q auf G.







Und das habe ich dann halt gelöst. Müsste doch soweit stimmen oder?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem Du das Ergebnis nicht hingeschrieben hast, kann ich nichts weiter dazu sagen.
Dein Rechenweg erscheint mir etwas umständlich, aber wenn Du es im Unterricht so gelernt hast und das Ergebnis richtig ist, möchte ich Dir nichts anderes einreden.

Ich hätte das so gelöst: Entfernung d = 10, das ist wie gesagt die Strecke PQ als auch der Lotabstand Q von der Geraden G.

2 - x = 10
x = -8

Eingesetzt in die andere Gleichung ergibt das y = 11

Zur Parabelgleichung hast Du ja den Beitrag von mYthos.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte mich oben leider verschrieben, das Quadrat hatte bei (y - n)^2 = .. gefehlt.

Du kannst aber durchaus auch von Gualtiero's Ansatz ausgehen. Dann folgt nach Gleichsetzen und Quadrieren



Nach 2 weiteren Zeilen steht die Parabelgleichung dann da ...

mY+
peter_k Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke!

Kann ich das dann bei meiner zweiten Aufgabe benutzen?:

b) Für welchen Wert beschreibt die Gleichung eine zu P kongruente Parabel?

-------

Ist hier mit kongruent wirklich "deckungsgleich" gemeint? Dann müsste ich ja schauen, für welches a durch die Gleichgung diegleiche Parabel beschrieben wird wie bei der für P, oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Kongruent heisst hier, dass die beiden Parabeln durch Parallelverschiebung ineinander übergehen sollen. Daher sind deren Gleichungen nicht identisch, sondern nur in ihrem "Formfaktor" gleich. Daher kommt es nur noch auf diesen Öffungsfaktor (bei beiden Parabeln -> a) an. Vergleiche also die beiden



und


______________________________

Du musst daher die vorhin berechnete Gleichung auf obige Form bringen!

mY+
crocodilechris Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nach Hilfe zu kongruenten Parabeln gesucht und diese Seite gefunden.
Ich dies mal nachgerechnet.
Ist folgender Rechenweg korrekt (gekürzt)?

oder ist ?
Hier geht es mir grad nur ums formale, da es bei einer kongruenten Parabel egal ist, ob sie nach Oben oder Unten geöffnet ist.


Da dies gut hierher passt, wollt ich gleich mal noch ne Frage ergänzen:
Wie kann man bei dieser Parabel eine Ähnlichkeitstransformation angeben, für die gilt?

Also soll ja folgender Form sein: mit
aber man hat ja zu viele Unbekannte: .
Finde gerade irgendwie keinen vernünftigen Ansatz. unglücklich
Mh, ich glaub versuchs erst einmal mit A="Drehung um 90° nach rechts" und meld mich dann noch mal.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ist |a| = 1/8, man muss tatsächlich bei einer der beiden Gleichungen die Umkehrung bilden! Allerdings wäre dies bei der anderen Gleichung leichter gewesen (eine Kopfrechnung eigentlich). Dann haben die beiden Parabeln den gleichen Formfaktor.

mY+
crocodilechris Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von peter_k
[...]
b) Für welchen Wert beschreibt die Gleichung eine zu P kongruente Parabel?
[...]
War das nicht nach Aufgabenstellung richtig?

Edit:
Hat sich also schon erledigt. Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast Recht, mein ursprünglicher Post war ohnehin richtig, auch deine Antwort stimmt. Sh. meinen Vorpost.

mY+
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