Integration mit Gauß-Klammer (Abrundungsfunktion)

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12.12.2009, 14:47	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration mit Gauß-Klammer (Abrundungsfunktion) Hallo allerseits, ich wollte mal wissen, ob man, wenn eine Integration der Form $\begin{eqnarray} \int_0^{ln(n+1)} \! [e^{x}] \, dx \end{eqnarray}$ vorgegeben ist, auf bestimmte Bedingungen noch achten muss, ausser, dass es hier um eine Funktion geht, bei der x abgerundet werden muss, wegen Gauß-Klammer! Die Klammer ist übrigens nach oben geöffnet, ich habe leider das Symbol dafür im Formeleditor nicht finden können. Danke voraus. MfG
12.12.2009, 15:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Gaußklammer bewirkt, dass der Integrand intervallweise konstant ist, das hilft natürlich bei der Berechnung, etwa über $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\ln(n+1)} ~ \left\lfloor e^x \right\rfloor ~ \dd x = \sum_{k=1}^n ~ \int\limits_{\ln(k)}^{\ln(k+1)} ~ \left\lfloor e^x \right\rfloor ~ \dd x \end{eqnarray}$ .
12.12.2009, 15:34	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heisst allso, dass ich ganz normal integrieren kann. Denn wenn ich es integriere, dann kommt die Konstante n raus, mit n € N.. Soweit korrekt?
12.12.2009, 15:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist falsch. Du kannst doch die Abrundungsfunktion nicht ignorieren! Ganz offenbar ist das gesuchte Integral (Fläche unter der grünen Kurve) echt kleiner als der Integralwert $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ (Fläche unter der roten Kurve).
12.12.2009, 21:29	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie kann ich dann jetzt hier genau vorgehen?
12.12.2009, 21:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich oben eigentlich angedeutet, aber wie so oft hier im Board werden die Winke mit dem Zaunpfahl nicht verstanden. Die Integralaufteilung oben fällt nicht vom Himmel - sie ist so angelegt, dass der Integrand jeweils konstant ist: Für $\begin{eqnarray} \ln(k) \leq x < \ln(k+1) \end{eqnarray}$ ist nämlich $\begin{eqnarray} k \leq e^x < k+1 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \left\lfloor e^x \right\rfloor = k \end{eqnarray}$ . Jetzt aber!
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12.12.2009, 21:48	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das heisst ich integriere das in den Grenzen von ln(k) bis ln(k+1) und die Fläche wäre endeffekt gleich k, da x wegen der Definition einer Abrundungsfunktion x >= k sein muss, mit k € Z. Korrekt jetzt?
12.12.2009, 21:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrand ist nicht gleich Fläche. Wie wäre es, wenn du jetzt einfach mal weiter rechnest?
12.12.2009, 22:07	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerechnet ergibt das folgendes: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \int_a^b \! [e^{x}] \, dx= \end{eqnarray}$ , mit a = ln(k) u. b = ln(k+1) => = $\begin{eqnarray} e^{b} - e^{a} \end{eqnarray}$ = k +1 -k = 1 Heisst das das Integral beträgt 1?
12.12.2009, 22:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe wirklich den Eindruck, du liest meine Beiträge nicht - was ist denn das jetzt für ein Murks? Weiter geht es doch erstmal mit $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\ln(n+1)} ~ \left\lfloor e^x \right\rfloor ~ \dd x = \sum_{k=1}^n ~ \int\limits_{\ln(k)}^{\ln(k+1)} ~ \left\lfloor e^x \right\rfloor ~ \dd x = \sum_{k=1}^n ~ \int\limits_{\ln(k)}^{\ln(k+1)} ~ k ~ \dd x = \sum_{k=1}^n ~ k(\ln(k+1)-\ln(k)) \end{eqnarray}$ . Das kann man jetzt noch etwas gefälliger schreiben, unter Einsatz der Fakultätsfunktion. Da ja jetzt an sich alles wesentliche zur Integralberechnung hier gesagt ist, verabschiede ich mich hier im Thread - will mich nicht weiter rumärgern.
12.12.2009, 22:32	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral falsch berechnet und die Summe vergessen. Integral wurde oben von Arthur schon angegeben und dass du das nicht bemerkst, weil dein Ergebnis nicht einmal von n abhängt ist schon sehr merkwürdig. Denkst du eigentlich darüber nach, was du tust air
12.12.2009, 22:43	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte ich dass dann so schreiben: ln(k+1)!
13.12.2009, 01:37	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, verstehe was du meins,danke für die Mühe!

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