Exaktes Differential

12.12.2009, 15:24	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
Exaktes Differential Hallo, erstmal die Aufgabe: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} dg = \frac{1}{xy²} df = -(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})dx + \frac{x}{y²}dy \end{eqnarray}$ exakt ist. Wie sieht die Funktion g(x,y) aus? Mein Rechenweg: Exakt, bedeutet ja wohl, dass $\begin{eqnarray} \int \!-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\, dx = \int \! \frac{x}{y²}\, dy \end{eqnarray}$ erfüllt sein muss. Die linke Seite ist die Ableitung nach x, die rechte Seite die Ableitung nach y, aber aufgeleitet kommt wieder die gleiche Gleichung g(x,y) aus. Ich integriere: $\begin{eqnarray} \int \!-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\, dx = ln(x)-\frac{x}{y}+C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{x}{y²}\, dy = -\frac{x}{y} + C \end{eqnarray}$ Damit das Differential exakt ist, müsste bei beiden Integralen doch das Selbe rauskommen? Was mache ich falsch?
12.12.2009, 17:28	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exaktes Differential Das machst du falsch: $\begin{eqnarray} \int \!-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\, dx = -ln(x)-\frac{x}{y}+C_1(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{x}{y²}\, dy = -\frac{x}{y} + C_2(x) \end{eqnarray}$ Edit: Mach einfach die Probe und leite nach x bzw. y ab, und du wirst sehen, dass ich recht habe...
12.12.2009, 18:07	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exaktes Differential Vielen Dank für deine Antwort, Mystik. Stimmt, dass Minuszeichen vor dem Logarithmus habe ich einfach unterschlagen. Trotzdem sind die beiden Stammfunktionen, die dann herauskommen doch unterschiedlich? Oder wie sieht dann g(x,y) aus?
12.12.2009, 18:40	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ist das nicht klar, wie $\begin{eqnarray} g(x,y) \end{eqnarray}$ aussieht? Dann hast das aber noch nicht voll kapiert, was da eigentlich abgeht... Man muss ja tatsächlich nur mehr $\begin{eqnarray} C_1(y)=C \text{ bzw. } C_2(x)=-\ln x +C \end{eqnarray}$ setzen, um die Gleichheit zu erzwingen und damit auf g(x,y) zu kommen...
12.12.2009, 19:05	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ganz habe ich das Thema noch nicht verstanden. Leider. Ach je. Ich habe mich heftig gesträubt, $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ als Konstante anzusehen, aber das kann man beim Differenzieren nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ durchaus machen. $\begin{eqnarray} g(x,y) = -\frac{x}{y} -ln(x) \end{eqnarray}$ Stimmt das dann so?
12.12.2009, 19:35	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eben das hab ich ja oben schon geschrieben, wobei noch ein Rest an Mehrdeutigkeit bleibt, der durch die Konstante C gegeben ist...
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12.12.2009, 19:56	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank nochmal.

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