Reihenwerte berechnen

12.12.2009, 16:15

9mb0

Reihenwerte berechnen

Hallo, bräuchte hilfe bei folgendene Aufgaben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (3^k+2^k)/(6^k) \end{eqnarray*}$

also bei dieser hab ich den Bruch hald zerlegt in $\begin{eqnarray*} (1/2)^k +(1/3)^k \end{eqnarray*}$

dann die summen hingeschrieben: $\begin{eqnarray*} (1+1/2+1/4....)+(1+1/3+1/9....) \end{eqnarray*}$

so jetz meine eigentliche Frage, wie kann ich zeigen, dass die Summe von $\begin{eqnarray*} (1/2+1/4+1/8....)=1 \end{eqnarray*}$ ist, bzw. $\begin{eqnarray*} (1/3+1/9..)=1/2 \end{eqnarray*}$ ist?

weil laut meinem Matheprogramm kommt 7/2 raus Augenzwinkern

ja und bei der zweiten Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 1/(4k^2-1 \end{eqnarray*}$ hab ich das gleiche Problem, laut programm kommt -1/2 raus, und die frage is jetz warum kommt bei der summe

$\begin{eqnarray*} 1/3+1/15+1/35.... \end{eqnarray*}$ 1/2 raus.

wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte

mfg 9mb0

12.12.2009, 17:26

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RE: Reihenwerte berechnen

Zitat:

Original von 9mb0
so jetz meine eigentliche Frage, wie kann ich zeigen, dass die Summe von $\begin{eqnarray*} (1/2+1/4+1/8....)=1 \end{eqnarray*}$ ist, bzw. $\begin{eqnarray*} (1/3+1/9..)=1/2 \end{eqnarray*}$ ist?

Geometrische Reihe.

Zitat:

Original von 9mb0
weil laut meinem Matheprogramm kommt 7/2 raus Augenzwinkern

Die Reihe beginnt bei Index $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ . Deine obigen Rechnungen hast du aber für Startindex $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ausgeführt und damit den ersten Summanden "vergessen".

Zur zweiten Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{4k^2-1} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \end{eqnarray*}$

ist nach einer passenden Partialbruchzerlegung als Teleskopreihe schreibbar.

12.12.2009, 17:33

9mb0

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dankeschön Augenzwinkern

habe den ersten summanden nicht vergessen, sondern weggelassen, da dieser in beiden "teilsummen" 1 ist und somit der restliche Teil gegen 1 bzw 1/2 gehen muss.

damit letztendlich 3,5 rauskommt.

mfg 9mb0

12.12.2009, 17:37

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Zitat:

Original von 9mb0
habe den ersten summanden nicht vergessen

Aha, aber oben klang es noch ganz anders in deiner Verwunderung über das Ergebnis 3,5. Augenzwinkern

12.12.2009, 17:47

9mb0

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hm naja, ich wollte wissen, wie ich darauf komme, dass

die beiden "reste" 1,5 ergeben, da durch die beiden ersten Summanden schon 2 "weg" sind und 3,5 rauskommen soll, also muss ja der rest 1,5 sein.

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