Elastizität berechnen

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12.12.2009, 16:23	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Elastizität berechnen Hallo zusammen, ich grübel schon eine Weile ob mein Ergebnis richtig ist und zwar habe ich die Stückkostenfunktion: $\begin{eqnarray} k(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x} \end{eqnarray}$ so ich soll nun die Elastizität an der Stelle berechnen und bin zu folgender Elastizitätsfunktion gekommen: $\begin{eqnarray} E(x) =(\frac{-x^{-1} }{x^{2}}) \frac{x}{\frac{2+\sqrt{x} }{x}} \end{eqnarray*}$ ist diese soweit richtig oder habe ich nen Fehler reingehauen? weil wenn diese richtig ist soll ich die Elastizität berechen, darf ich dafür den Summanden mit dem x oberhalb des Bruchstriches multiplizieren? gruß Funky
12.12.2009, 16:33	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität berechnen Moment! Zuerst mal: was ist x? Die Stückkostenfunktion gibt die Kosten pro Stück wider. Sind x die Stück? Dann: E(x) ist die Elasitizität? Wovon? Von der Stückkostenfunktion? Kannst Du mal sagen, wie Du die Elastizität ausrechnest? Weil, ich komme auf etwas anderes, wenn ich meine Definition der Elastizität anwende. Aber vielleicht hast Du eine andere. D.h., vielleicht komme ich auf dasselbe, aber ich habe mir nicht die Mühe gemacht, Deinen Ausdruck zu vereinfachen. Ich denke, das könntest Du übernehmen. Also bitte, rechne E(x) fertig aus. Dann schreibst Du, dass Du die Elastizität ausrechnen musst, wenn das Zwischenresultat richtig sei. Aber das ist doch schon die Elastizität! Ich verstehe nicht genau, was Du machen musst/willst.
12.12.2009, 19:23	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
oh oh entschuldigung klar, also die Kostenfunktion war $\begin{eqnarray} K(x) = 2+\sqrt{x} \end{eqnarray}$ das daoben war die Stückkostenunfktion und die E(x) war erstmal die noch nicht zusammengefasste version davon wollte eigentlich erstmal gucken ob die Ableitung von der Stückkostenfunktion richtig war soweit die E(x) - Funktion kann ich ja noch ein bisschen mehr zusammenfassen wobei ich ganz kurios bei der E(x) gekürzt raus habe : E(x) = $\begin{eqnarray} -0,5x^{-2} + x^{-1} \end{eqnarray}$ ich soll sie nicht berechnen sondern nur bestimmen, sorry hatte mich falsch ausgedrückt :/
12.12.2009, 23:02	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha. Und Du musst wirklich die Elastizität der Stückkostenfunktion ausrechnen? Also, für mich ist die Elastizität der Funktion f gegeben durch $\begin{eqnarray} E_{f}(x)=x\frac{f'}{f} \end{eqnarray}$ Damit komme ich aber nicht auf dasselbe Resultat wie Du
12.12.2009, 23:15	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachte bis grade noch das die Elastizität sich wie folgt berechnet: $\begin{eqnarray} E(x) =f'(x) \frac{x}{f(x)} \end{eqnarray*}$ ich solle sie nur bestimmen net ausrechnen geht ja auch net da ich keinen konkreten x Wert gegeben habe ^^
13.12.2009, 07:26	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, Deine Definition stimmt mit meiner überein. Manchmal wird eben der reziproke Wert genommen. Also, könntest Du jetzt mal Deinen Rechenweg angeben. Ich komme Dir etwas entgegen und sage Dir, was ich für f' erhalte: Mit $\begin{eqnarray} k(x)=2x^{-1}+x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ erhalte ich für k' $\begin{eqnarray} k'(x)=-2x^{-2}+\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2} }=\frac{-4-\sqrt{x} }{2x^{2} } \end{eqnarray}$ Kannst Du das jetzt mal in die Elastizitätsdefinition einsetzen und Deinen Rechenweg mit allen Kürzungen hier im Detail angeben?
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13.12.2009, 11:37	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe schon bei der Ableitung von k'(x) was anderes raus und zwar: habe ich das mit der Quotientenregel gemacht und habe somit raus, wenn wir von der Funktion $\begin{eqnarray} k(x)=\frac{2+\sqrt{x} }{x} \end{eqnarray}$ ausgehen und zwar habe ich: $\begin{eqnarray} k'(x)=\frac{(0x^{\frac{1}{2}})-2\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2} } }{x^{2}} \end{eqnarray}$ das dann wiederum gekürzt: $\begin{eqnarray} k'(x)=\frac{-x^{-1} }{x^{2} } \end{eqnarray}$ und ich denke da ist schon der Fehler was ich bei dir aber auch nicht ganznachvollziehen kann ist das : $\begin{eqnarray} +\frac{1}{2}x^-{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ weil du 1 mit -0,5 multiplizierst und dann kann doch da gar nicht +0,5 vor dem x stehen oder?
13.12.2009, 11:55	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hast recht, das war ein Tippfehler meinerseits. Aber ich glaube, ich habe dann schon mit dem Minuszeichen weiter gerechnet. Schau's nochmals an, es muss richtig heissen: $\begin{eqnarray} k'(x)=-2x^{-2}-\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2} }=\frac{-4-\sqrt{x} }{2x^{2} } \end{eqnarray}$ Klar doch, mit der Quotientenregel komme ich auf dasselbe Resultat. Wenn Du eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u}{v} \end{eqnarray}$ wie lautet denn die Quotientenregel?
13.12.2009, 12:00	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
aso ja ich wollte erstal gucken ob die Ableitung richtig war, und dann mit der E-Funktion weitermachen die würde ich dann auch preisgeben die Quotienteregel lautet: $\begin{eqnarray} \frac{a'b - a* b'}{b²} \end{eqnarray}$ die Werte habe ich in meinem Post vorher schon eingesetzt aber zeigs gern nochmal : $\begin{eqnarray} k'(x)=\frac{(0x^{\frac{1}{2}})-2\frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2} } }{x^{2}} \end{eqnarray}$ von der Funktion $\begin{eqnarray} k(x)=\frac{2+\sqrt{x} }{x} \end{eqnarray*}$ abgeleitet. wobei a der obere Teil des Bruches ist und b der untere.
13.12.2009, 12:04	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wenn Du a und b statt wie ich vorgeschlagen habe u und v verwenden willst, ist auch gut. Jetzt bitte ich Dich, a und b hier explizit hinzuschreiben, also a= b= und a'= b'=
13.12.2009, 12:09	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
ach.. stimmt jetzt seh ich meinen Fehler aber ich schreibs dennoch nochmal vollständigkeitshalber hin: also $\begin{eqnarray} a=2+\sqrt{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b= x \end{eqnarray}$ die Ableitung dazu: $\begin{eqnarray} a'=0+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b' = 1 \end{eqnarray}$ dann hätte ich aber nur für die Ableitung der Funktion folgendes: $\begin{eqnarray} k(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k'(x) = \frac{0\frac{1}{2}x^-{\frac{1}{2}x - (2+x^{\frac{1}{2} }1 ) } }{x²} \end{eqnarray}$ und zusammengefasst dann: $\begin{eqnarray} k'(x) = \frac{-2-x^{\frac{1}{2} } }{x^{2}} \end{eqnarray*}$
13.12.2009, 12:13	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima! also hast Du für $\begin{eqnarray} \frac{a'b-ab'}{b^{2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{2}x\cdot x^{-\frac{1}{2} } - (2+\sqrt{x} )}{x^{2} } \end{eqnarray}$ Kommst Du damit und nach entsprechender Vereinfachung auf mein Resultat und wie lautet demnach die Elastizität?
13.12.2009, 12:19	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
ok stimtm hatte klammer vergessen ja ok, aber was ist mit der 0 ? wenn du doch die Sachen mit 0 multiplizierst ist es doch 0 oder? somit würde doch der Teil vor dem Minus wegfallen ? wenn nicht erklär mir das bitte dann setz ich alles in die E(x)-Funktion ein.
13.12.2009, 12:51	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
keine Ahnung, wo Du etwas mit Null multiplizierst. Erklär Du mir das mal
13.12.2009, 12:54	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir diese Funktion hier sehen: $\begin{eqnarray} k(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x} \end{eqnarray}$ und die ableitung von a bilden ist wenn wir 2 ableiten die ableitung 0 so kam bei mir die 0 zustande und dann das ganze $\begin{eqnarray} a'=0+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ so kam ich auf die 0
13.12.2009, 12:59	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
und Du musst a'b rechnen. b hast Du mit x angegeben. Du wirst doch wohl noch in der Lage sein $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} }\cdot x \end{eqnarray}$ zu rechnen, hundertausend Höllenhunde!
13.12.2009, 13:09	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
und nochmals: was ist jetzt also a'b? Bitte multipliziere dieses a', das Du hier angegeben hast mit x
13.12.2009, 15:09	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
ach du hast recht 0 + und nicht 0 * sorry wegen doppeltpost aber ich denke manchmal ist so ne genau analyse wie wir sie grade machen besser -.- gut wenn ich das nun zusammenfasse habe ich für k'(x): $\begin{eqnarray} k'(x)=\frac{\frac{1}{2} x^-{\frac{1}{2} }-(2+x^{\frac{1}{2} } )} {x^{2} } \end{eqnarray}$ so ist die Ableitung nun richtig?? das würde dann so bei mir aussehen $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{\frac{1}{2} x^-{\frac{1}{2} }-(2+x^{\frac{1}{2} } )} {x^{2} } \frac{x}{2+x^{-1}+x^{\frac{1}{2}x^{-1} } } \end{eqnarray}$ sorry das ich das nicht so flüssig kann wie du, aber wenn ich alles wüsste und richtig machen würde, würde ich nicht nachfragen.. brauchst nicht gleich fluchen.....
13.12.2009, 15:12	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
also, jetzt kann's ja weitergehen. Wie lautet denn jetzt die Elastizität?
13.12.2009, 15:19	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E(x)=\frac{\frac{1}{2} x^-{\frac{1}{2} }-(2+x^{\frac{1}{2} } )} {x^{2} } \frac{x}{2+x^{-1}+x^{\frac{1}{2}x^{-1} } } \end{eqnarray}$ aber kürzen ist so ne Sache.. ich probiere es mal also erstmal habe ich alles zusammengefasst also: $\begin{eqnarray} E(x) =\frac{(\frac{1}{2}x^-{\frac{1}{2} }-(2+x^{\frac{1}{2} })x^{-2})x }{2+x^{-1}+x^{\frac{1}{2} }x^{-1} } \end{eqnarray}$ das wiederum zusammengefasst: $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{\frac{1}{2}x^-{\frac{1}{2} }-(2x^{-2} +x^{-1\frac{1}{2} })x}{2+x^{-1}+x^{-\frac{1}{2} }} \end{eqnarray}$ und das wieder: $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{\frac{1}{2}x^-{\frac{1}{2} }-(2x^{-1} +x^{-\frac{1}{2} })}{2+x^{-1}+x^{-\frac{1}{2} }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{\frac{1}{2}x^-{\frac{1}{2} }-2x^{-1} -x^{-\frac{1}{2} }}{2+x^{-1}+x^{-\frac{1}{2} }} \end{eqnarray}$ weiter weiß ich nich
13.12.2009, 15:39	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Haha, kein Problem, das Fluchen war nicht gar so ernst gemeint. Es ist halt der Standardfluch meines Avatars. Ich habe Dich trotzdem lieb... Also, wir haben so schnell aufeinander geantwortet, dass wir einander fast zuvor kamen. Im letzten Posting hast Du Dir ja mächtig Mühe gegeben, aber ich fürchte, dass es vergebliche Liebesmüh war, denn ich muss zurück zu Deinem vorletzten Posting und dort zu Deiner Ableitung k'. Sie stimmt immer noch nicht. Der erste Summand im Zähler soll sein a'b. Du gibst an: $\begin{eqnarray} a'=\frac {1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ und b=x. Bitte rechne nochmals a'b. Gaaanz langsam und exakt. Dann kannst Du sicher die Klammer im Zähler auflösen und den ersten und den letzten Summanden miteinander verrechnen. Am Schluss bleiben nur zwei Summanden im Zähler übrig.
13.12.2009, 16:26	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
gut hm dann komme ich auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ für den teil wenn ich a' mit b mutlipliziere.. gut dann wäre der Rest der Rechnung.. oh mann wieder alles schreiben ^^ so wenn ich dies gemacht habe bekomme ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} }-2 -x^{\frac{1}{2} } }{x²} \end{eqnarray}$
13.12.2009, 16:46	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das ganze nun in die Efunktion einsetze bekomme ich: $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} }-2x^{-\frac{1}{2} } }{2+x^{-1}+x^{-\frac{1}{2} }} \end{eqnarray}$ das wiederum zusammengefasst... $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{-1\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } }{2+x^{-1}+x^{-\frac{1}{2} } } \end{eqnarray}$
13.12.2009, 17:19	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
aber hey! was gibt wohl $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} }- x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ ? Also, wie ich früher schon geschrieben habe, ist $\begin{eqnarray} k'(x)=\frac{-4-\sqrt{x} }{2x^{2} } \end{eqnarray}$ Ich weiss nicht, weshalb Du nicht wendigstens damit weiter gerechnet hast. Ich werde morgen früh meinen fertig gerechneten Ausdruck der Elesatizität posten, da ich jetzt weg muss
13.12.2009, 17:30	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, ich komm icht auf den ausdruck deinerseits.. sonst würde ich den nutzen
14.12.2009, 05:44	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Na hör mal. Du hattest $\begin{eqnarray} k'(x)=\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } -(2+x^{\frac{1}{2} }) }{x^{2} } \end{eqnarray}$ Die Klammer kannst Du ja wohl auflösen. Dann kannst Du noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} }- x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ rechnen und erhältst $\begin{eqnarray} k'(x)=\frac{-4-\sqrt{x} }{2x^{2} } \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} E(x)=x\cdot \frac{k'}{k}=x\cdot k' \cdot \frac{1}{k} = x\cdot \frac{-4-\sqrt{x} }{2x^{2} }\cdot \frac{x}{2+\sqrt{x} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ kannst Du kürzen. Dann bleibt noch $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{-4-\sqrt{x} }{2(2+\sqrt{x} )} \end{eqnarray}$ Das ist alles! (immer ohne Gewähr...., vor Rechenfehler bin auch ich nicht gefeiht) Komisch ist nur, dass Ihr eine Elastizität für eine Stückkostenfunktion ausrechnet. Die Elastizität ist ja - grob gesprochen - der prozentuale Anteil, mit dem sich der Funktionswert ändert, wenn x um 1% zunimmt. Da x aber Stück sind, kann x nur um eine natürliche Zahl zunehmen. Natürlich kann man die Elasitzität der Stückkostenfunktion rein theoretisch berechnen. Aber ob sie eine praktische Aussage hat, bezweifle ich.
14.12.2009, 10:09	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens kann man die Elastizität auch so schreiben: $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{-4-\sqrt{x} }{2(2+\sqrt{x} )} = \frac{-2-(2+\sqrt{x}) }{2(2+\sqrt{x} )}=- \frac{1}{2+\sqrt{x}}-1 \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} \| E(x) \|>1 \end{eqnarray}$ für alle positiven reellen x, was bedeutet, dass die Stückgutfunktion unabhängig von x strikt elastisch ist.
14.12.2009, 22:30	funky1985	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E(x)=x\cdot \frac{k'}{k}=x\cdot k' \cdot \frac{1}{k} = x\cdot \frac{-4-\sqrt{x} }{2x^{2} }\cdot \frac{x}{2+\sqrt{x} } \end{eqnarray}$ den teil versteh ich nicht so ganz und zwar: hast du das k' vom Bruch weggeholt soweit ist klar und mit 1 ersetzt, ist soweit klar aber warum hast du dann nochmal x dahinten stehen also x mal die 1. Ableitung mal x/k(x) ? So hast du doch ein x zuviel oder? aber sonst danke auf jedenfall, in der Schule hatte ich die Ableitung nochmal berechent und kam nun auch auf deins drauf hatte das gestern irgendwie nimmer gesehen das man alles mit 2 mal nehmen konnte und dann noch minus rechnen konnte Oo aber dennoch danke für deine Geduld gruß
14.12.2009, 23:19	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe einfach die Definition der Elastizität angewandt, die Du in Deinem Beitrag vom 12. 12. um 23.15 Uhr (s. dort) angegeben hast. Du hast geschrieben: $\begin{eqnarray} E(x)=f' \cdot \frac{x}{f} \end{eqnarray}$ Da hast Du das x auch drin. Ich habe nicht x mal die 1. Ableitung mal x/k(x), sondern x mal die erste Ableitung mal 1/k(x). Das k(x) hat ein x im Nenner, das kommt dann bei 1/k(x) in den Zähler

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