Grenzwertbestimmung

12.12.2009, 16:29

ShiZ

Grenzwertbestimmung

Hey!

Ich bräuchte ein bisschen Hilfe bei folgenden Grenzwertaufgaben:

Vorgegeben sind

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})^{n}=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

So und Aufgaben lauten:

1) $\begin{eqnarray*} (an)=((1+\frac{2}{n})^{n}) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} (an)=((1+\frac{1}{n-2})^{n+5}) \end{eqnarray*}$

Klar, man muss irgendwie umformen, aber ich komm auf keinen Ansatz, Gruß

12.12.2009, 18:20

klarsoweit

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RE: Grenzwertbestimmung
zu 1: substituiere n=2m.
zu 2: substituiere n=m+2.

12.12.2009, 18:31

wisili

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RE: Grenzwertbestimmung
zu a.
Ersetze n durch 2m, kürze den Bruch mit 2 und wende $\begin{eqnarray*} x^{2m} = \left(x^{m} \right) ^{2} \end{eqnarray*}$
und den Produktsatz für Grenzwerte an.

zu b.
Ersetze n durch m+2, und wende $\begin{eqnarray*} x^{m+7} = x^{m} *x^{7} \end{eqnarray*}$
und Grenzwertsätze an.

12.12.2009, 18:33

wisili

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RE: Grenzwertbestimmung
Sorry, klarsoweit: habe nicht bemerkt, dass du die Tipps schon gibst.
(Habe immerhin in der Zeit meine erste Latex-Formel erstellt ...)

12.12.2009, 19:27

Shizzle3x2k

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Hey, danke! Muss ich dann zum Schluss zurück substituieren?
Habe dann für 1 ) = e und 2 ) = e raus
Was mache ich aber nun bei dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\frac{(n-1)!(n+1)^{n+1}}{n^{n}(n+1)!}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\frac{(n-1)!(n+1)^{n+1}}{n^{n}(n+1)+n+(n-1)!}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\frac{(n+1)}{n^{1+\frac{1}{n}}})^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n^{1+\frac{1}{n}}})^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(n^{\frac{1}{n}}(1+\frac{1}{n}))^{n} \end{eqnarray*}$

Und der nächste Schritt ist glaube ich falsch Augenzwinkern

:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(n^{\frac{1}{n}*n}(1+\frac{1}{n})^{n}) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \infty * e \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich nun nicht mehr : /

12.12.2009, 23:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shizzle3x2k
Habe dann für 1 ) = e und 2 ) = e raus

zu 1: falsch
zu 2: richtig.

Zitat:

Original von Shizzle3x2k
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\frac{(n-1)!(n+1)^{n+1}}{n^{n}(n+1)+n+(n-1)!}) \end{eqnarray*}$

Wie kommt es zu dem "+" im Nenner? verwirrt

Zitat:

Original von Shizzle3x2k
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n^{1+\frac{1}{n}}})^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(n^{\frac{1}{n}}(1+\frac{1}{n}))^{n} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung ist falsch. Denk nochmal drüber nach.

13.12.2009, 19:48

Shizzle3x2k

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ahh stimmt, ist es denn so dann richtig?:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (n^{-\frac1n}(1+\frac1n))^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n}}(1+\frac1n))^{n} \end{eqnarray*}$
= 0 * e

14.12.2009, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shizzle3x2k
ahh stimmt, ist es denn so dann richtig?:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (n^{-\frac1n}(1+\frac1n))^{n} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von Shizzle3x2k
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n}}(1+\frac1n))^{n} \end{eqnarray*}$
= 0 * e

Falsch was die Umformung angeht. Du hast ja arge Probleme mit den Potenzregeln. Es ist $\begin{eqnarray*} n^{-\frac 1 n} \neq \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Shizzle3x2k
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\frac{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

Und dabei wäre es so einfach gewesen. An dieser Stelle wärest du mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}~\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \lim_{n\to\infty}~\frac{(n+1)^{n}}{n \cdot n^n} = \lim_{n\to\infty}~(\frac 1 n \cdot (1 + \frac 1 n)^n) \end{eqnarray*}$

schon am Ziel gewesen. Augenzwinkern

14.12.2009, 20:24

Shizzle3x2k

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Ja stimmt schon die nte-Wurzel aus n, aber das Ergebnis ist doch das selbe bei beiden Wegen,= 0 oder nicht?

15.12.2009, 09:59

klarsoweit

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Ja.

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