Multiplikation von Elementarmatrizen

12.12.2009, 19:26

Zauberlehrling

Multiplikation von Elementarmatrizen

Hallo, stecke heute schon den ganzen nachmittag an dieser Aufgabe und drehe mich im Kreis verwirrt

, hoffentlich könnt ihr mir etwas weiterhelfen

Aufgabe:
Zeige, dass man jede Elementarmatrix des typs E(n;i,j) als Produkt von Elementarmatrizen des Typs E(n;+;k,l) und E(n;-1;k) darstellen kann.

bin bisher so vorgegangen: Es liegen 3 Typen von Elementarmatrizen vor und habe mir versucht es an Matrizen mit 3 zeilen/Spalten zu veranschaulichen und in diesem Einzelfall auch zu lösen

Hier noch eine Skizze, wie ich es angegangen bin(beherrsche leider noch kein latex), hier ein beispiel, habe viele durchprobiert...
Das ihr seht wie ichs im prinzip angegangen bin, denke da müsste auch irgendwo der fehler liegen, konnte so nie auch nur ansatzweise auf die gewünschte form kommen

13.12.2009, 02:40

outSchool

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RE: Multiplikation von Elementarmatrizen

Zitat:

Original von Zauberlehrling
. . .
Aufgabe:
Zeige, dass man jede Elementarmatrix desTyps E(n;i,j) als Produkt von Elementarmatrizen des Typs E(n;+;k,l) und E(n;-1;k) darstellen kann.
. . .

Ich kenne leider die Definition der Elementarmatrix des typs E(n;i,j) sowie des Typs E(n;+;k,l) und E(n;-1;k) nicht, meine Definition hat eine andere Notation.
Kannst du mal was zur Definition von E(n;i,j) sagen, dann kann dir auch geholfen werden.

13.12.2009, 10:27

Zauberlehrling

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Zitat:

Ich kenne leider die Definition der Elementarmatrix des typs E(n;i,j) sowie des Typs E(n;+;k,l) und E(n;-1;k) nicht, meine Definition hat eine andere Notation.

ja klar, hab auch im Internet schon nach Elementarmatrizen geschaut und diese Notation ist glaube ich net üblich, habe sie zumindest net nochmal gefunden unglücklich

Ich nenne die typen von oben mal E1-E3 und stelle noch die allgemeine Schreibweise aus dem Script rein, und was ich darunter verstehe.

Bei allen 3 Arten modifiziert er eine n*n-Einheitsmatrix, wobei n€N n>2,
Elementarmatrizen E1-E3 €Mat(n,n;K), k ist ein körper

Also
Typ 1

E1(n;i,j),
praktisch gleiche Notation wie im Script, bei der Einheitsmatrix vertauscht er die i-te zeile mit der j-ten zeile.
1<i<j<n

Typ2
sorry, da hab ich die 1 vergessen beim anfangspost
E2(n;+1;k,l)
Notation im Script: E2(n;c;j,i), dabei fügt der prof in der i-ten zeile das c ein.
Das c ist dabei an der Stelle von der 1 der j-ten zeile.
Diagonale mit den einsen bleibt erhalten
1<i,j<n

Typ3
E3(n;-1;k)

Notation im Script: E3(n;c;i), dabei wird in der i-ten zeile, die 1 der Einheitsmatrix durch das c ersetzt
1<i<n

wär gut wenn euch die notation jetzt klarer wird, mir ist nämlich noch nichts klarer geworden traurig

raff immer noch net was ich in meinem beispiel vom oberen Blatt falsch gemacht hab, meldet euch bitte smile

13.12.2009, 20:18

outSchool

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RE: Multiplikation von Elementarmatrizen

Zitat:

Original von Zauberlehrling
Aufgabe:
Zeige, dass man jede Elementarmatrix des typs E(n;i,j) als Produkt von Elementarmatrizen des Typs E(n;+;k,l) und E(n;-1;k) darstellen kann.

Zuerst mal zu deiner Typbeschreibung:

$\begin{eqnarray*} E_1(n;i,j): \end{eqnarray*}$ Vertausche die i-te Zeile mit der j-ten Zeile.
$\begin{eqnarray*} E_2(n;c,j,i): \end{eqnarray*}$ Addiere das c-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile.
$\begin{eqnarray*} E_3(n;c,i): \end{eqnarray*}$ Multipliziere die i-te Zeile mit einem Skalar c (c <> 0).

Zu deiner Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} E_1(n;i,j) = E_2(n;1,i,j)\cdot E_2(n;-1,j,i)\cdot E_2(n;1,i,j)\cdot E_3(n;-1,j) \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt anhand eines Beispiels ausprobieren, ob es stimmt. Ein Beweis ist das jedoch nicht. Wenn du das beweisen musst, kannst du wie folgt vorgehen:

Definition:
Sei $\begin{eqnarray*} E_{ij} \in M_{mn}(\mathbb K) \end{eqnarray*}$ die Matrix, die an der Stelle (i, j) den Eintrag 1 hat, und deren übrige Einträge 0 sind.
$\begin{eqnarray*} \text{Beispiel: } E_{23} \in M_{33}(\mathbb K) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann kann man die Elementarmatrizen wie folgt darstellen:

$\begin{eqnarray*} E_1(n;i,j) =I_n - E_{ii} + E_{ij} - E_{jj} + E_{ji} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2(n;c,j,i) =I_n + c\cdot E_{ij} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_3(n;c,i) =I_n + (c-1)\cdot E_{ii} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du diese Darstellung in die obige Gleichung einsetzen und ausmultiplizieren.
Zum Vereinfachen kannst du folgende Regeln benutzen:

$\begin{eqnarray*} E_{ij} \cdot E_{jj} = E_{ij} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ji} \cdot E_{jj} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ij} \cdot E_{ii} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ji} \cdot E_{ii} = E_{ji} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ii} \cdot E_{ii} = E_{ii} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{jj} \cdot E_{jj} = E_{jj} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ii} \cdot E_{jj} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{jj} \cdot E_{ii} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ij} \cdot E_{ij} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ji} \cdot E_{ji} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ij} \cdot E_{ji} = E_{ii} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ji} \cdot E_{ij} = E_{jj} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ii} \cdot E_{ij} = E_{ij} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{jj} \cdot E_{ji} = E_{ji} \end{eqnarray*}$

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