Subdifferential

12.12.2009, 21:21	Mirko20	Auf diesen Beitrag antworten »
Subdifferential Hallo, die Aufgabe lautet wie folgt: Betrachten Sie die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray}$ , definiert durch $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} -x+1, & \text{für alle }x\leq 1\\ (x-1)^2, & \text{für alle }x\geq 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie das Subdifferential $\begin{eqnarray} \partial f(x) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ a) an der Stelle $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ und b) an der Stelle $\begin{eqnarray} x=4 \end{eqnarray}$ . Zunächst möchte ich mit der b) anfangen. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x=4 \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, folgt dass das Subdifferential eindeutig bestimmt ist und gleich dem Gradienten ist. Also ist $\begin{eqnarray} \partial f(4)=24-2=6 \end{eqnarray}$ Nun zu a) Es gilt: $\begin{eqnarray} f(1)=0 \end{eqnarray}$ Wir müssen nun schauen, für welche $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ folgende Ungleichung gilt: $\begin{eqnarray} f(x)\geq f(1)+g^T\cdot(x-1) \end{eqnarray}$ Dann hätten wir als erstes: $\begin{eqnarray} -x+1\geq 0+g\cdot (x-1) \Rightarrow g\leq -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x-1)^2\geq g\cdot (x-1) \Rightarrow g\leq x-1 \end{eqnarray*}$ Stimmt das bis hierhin?
12.12.2009, 21:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Subdifferential Man möge sich die beiden Plots in einem Bild vorstellen. Soweit ich mich richtig erinnere, war das Subdifferential in Punkt 1 dann [-1,0], anschaulich, man dreht die Tangente an die Linke Funktion (Steigung -1) gegen den Uhrzeigersinn so lange bis sie Tangente an die Zweite Funktion ist. Die hat dort den Scheitelpunkt, also Steigung 0. Vergleiche Bild hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Subdifferential Die Berechnung war etwas "lästiger". Da wir hier in IR sind $\begin{eqnarray} f(x)\geq f(1)+g\cdot(x-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)\geq g\cdot(x-1) \end{eqnarray}$ Nun die Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray} x \leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x+1\geq g\cdot(x-1) \end{eqnarray}$ Division durch negative Zahl! $\begin{eqnarray} \frac{-x+1}{x-1}\leq g \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g \geq -1 \end{eqnarray}$ Den anderen Weg schaffst du ja ohne mich.
12.12.2009, 21:55	Mirko20	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Subdifferential woow, super erklärt: Ich versuche dann den Fall 2 zu machen: Fall 2: $\begin{eqnarray} x>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-1)^2\geq g\cdot (x-1) \end{eqnarray}$ Division durch positive Zahl $\begin{eqnarray} g\leq x-1 \end{eqnarray}$ Daraus folgt schonmal: $\begin{eqnarray} g\leq 0 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} -1\leq g \leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial f(1)=[-1,0] \end{eqnarray}$ Stimmt das?
12.12.2009, 22:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Subdifferential Sieht gut aus.

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