Konvergenz belegen

12.12.2009, 23:13

moffeltoff

Konvergenz belegen

Hallo,

ich habe folgendes Problem wir sollen mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte zeigen ,dass $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{1+n+n^2} - \sqrt {1+n^2} \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

Ich hab also die Rechenregel für $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ angewandt und komme dann auf folgende Umformung.

$\begin{eqnarray*} n^2+\sqrt{n^3}+2n+\sqrt{n}+1/\sqrt{1+n+n^2} -n^2+\sqrt{n^3}+2n+\sqrt{n}+1/\sqrt{1+n^2} \end{eqnarray*}$

Das sollten übrigend Brüche sein aber ich bin in latex noch nicht so sonderlich versiert.

Auf jeden Fall komme ich hier nicht mehr weiter ich würde mich über Denkanstösse oder Verweise auf Hilfen sehr freuen.

Mfg

moffeltoff

13.12.2009, 00:52

Calvin

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RE: Konvergenz belegen
Hi moeffeltoff,

Willkommen

im Matheboard. Es ist kein Problem, wenn man mit LaTeX noch nicht so versiert ist. Aber zumindest Klammern sollten ordnungsgemäß gesetzt werden. Ansonsten kann man nämlich nur raten, was du mit

Zitat:

Original von moffeltoff
$\begin{eqnarray*} n^2+\sqrt{n^3}+2n+\sqrt{n}+1/\sqrt{1+n+n^2} -n^2+\sqrt{n^3}+2n+\sqrt{n}+1/\sqrt{1+n^2} \end{eqnarray*}$

meinst. Genau genommen steht da nämlich

$\begin{eqnarray*} n^2+\sqrt{n^3}+2n+\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}} -n^2+\sqrt{n^3}+2n+\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{1+n^2}} \end{eqnarray*}$

Zur Lösung: erweitere mal mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+n+n^2} + \sqrt{1+n^2}}{\sqrt{1+n+n^2} + \sqrt{1+n^2}} \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du im Zähler die dritte binomische Formel anwenden und schön zusammenfassen.

13.12.2009, 21:16

moffeltoff

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Tut mir leid aber nach dem erweitern sehe ich auch nicht wirklich was ich da noch weiter zusammenfassen könnte zumal der nenner ja nicht der gleiche wird ,oder irre ich mich da?
Also nach dem erweitern hab ich folgendes raus.

$\begin{eqnarray*} ((1+n+n^2+2\sqrt{n^4+n^3+2n^2+n+1}+1+n^2)/\sqrt{2+3n+5n^2+3n^3+n^4}) - ((1+n+n^2+2\sqrt{n^4+n^3+2n^2+n+1}+1+n^2)/(\sqrt{2+n+4n^2+n^3+2n^4}) \end{eqnarray*}$

13.12.2009, 21:20

Calvin

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RE: Konvergenz belegen
Was hast du denn gemacht? verwirrt

Wo kommen die Wurzeln im Zähler her? Fasse

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{1+n+n^2} - \sqrt{1+n^2}\right) \cdot \frac{\sqrt{1+n+n^2} + \sqrt{1+n^2}}{\sqrt{1+n+n^2} + \sqrt{1+n^2}} \end{eqnarray*}$

zusammen. Im Zähler gilt die dritte binomische Formel. Danach sind dort keinerlei Wurzeln mehr.

13.12.2009, 21:29

moffeltoff

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Ah ok dankesehr ich hab mir im Papula I angesehen was er dazu meint und dann "elementare Umformung für unbestimmte Ausdrücke angewandt nach der Form :

$\begin{eqnarray*} ((u(x)/1)-(v(x)/1))/(1/u(x)*v(x) \end{eqnarray*}$

gerechnet und dann noch erweitert weil ich den Eindruck hatte ,dass in 90% der Fälle die einem beim Ingenieurstudium begegnen die Vorgehensweise erfolgsversprechend ist.

13.12.2009, 22:16

Calvin

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So vollkommen aus dem Zusammenhang gerissen ist mir absolut unklar, was damit gemeint ist verwirrt

Mein Ansatz ist ein Standardansatz für Grenzwerte der Form $\begin{eqnarray*} \sqrt{\infty}-\sqrt{\infty} \end{eqnarray*}$

13.12.2009, 22:56

moffeltoff

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Naja also bei mir konvergiert die Funktion gegen 2 ist das richtig?

http://books.google.de/books?id=CI94bcg6...3%9CCKE&f=false

Da auf Seite 590 hab ich (B) versucht anzuwenden um meinen Beitrag von vorhin zu erklären.

14.12.2009, 07:51

Calvin

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Da steht aber was anderes, als du in deinem letzten Beitrag geschrieben hast Augenzwinkern

(Brüche im Zähler sind andersrum)

Außerdem bringst du damit lediglich Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ auf die Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ . Darauf kannst du dann die Regel von L'Hospital anwenden. Aber ganz ehrlich: das macht in diesem Fall keinen Spaß unglücklich

Zitat:

Naja also bei mir konvergiert die Funktion gegen 2 ist das richtig?

Nein. Aber ohne deinen Rechenweg kann man nicht sagen, was du falsch gemacht hast.

14.12.2009, 10:21

moffeltoff

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Hab den Fehler gefunden ,hab die Wurzel nicht als "Klammer" betrachtet und dann rausbekommen $\begin{eqnarray*} (1+n+n^2-1+n^2)/(\sqrt{1+n+n^2}+\sqrt{1+n^2}) \end{eqnarray*}$

statt $\begin{eqnarray*} (1+n+n^2-1-n^2)/(\sqrt{1+n+n^2}+\sqrt{1+n^2}) \end{eqnarray*}$

Aber nochma vielen dank für die Hilfe zum Schluss hab ich aber nochmal ne Frage wie kamst du genau drauf zu erweitern einfach durch probieren oder was war da der Anhaltspunkt?

14.12.2009, 10:26

klarsoweit

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Wenn man 1000mal solche oder ähnliche Aufgaben gerechnet hat, dann weiß man das eben. Augenzwinkern

Im übrigen kann man mit Latex auch Brüche schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+n+n^2-1-n^2}{\sqrt{1+n+n^2}+\sqrt{1+n^2}} \end{eqnarray*}$

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