Reihenkonvergenz

12.12.2009, 23:42

Explo

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Reihenkonvergenz

Nachdem ich nun 2h lang hin und her rechne und irgendwie immer vor dem gleichen Problem stehe frag ich einfach mal hier nach..

Die Aufgabe ist:

a) Zeigen sie, dass die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \begin{pmatrix} 4k \\ 3k \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$
(absolut) konvergiert.

b) Weisen sie die absolute Konvergenz der Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k} \cdot \frac{1}{k} \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{k}\right)^{k} \end{eqnarray*}$

(Hinweis $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \end{eqnarray*}$

Vorneweg: b) hab ich noch nicht genauer betrachtet (Ansätze wären trotzdem kuhl :-p)

Also zu a)

ich hab zuerst den Binominialkoeefizienten ungeformt .. und dann wegen hoch -1 Nenner und Zähler vertauscht.. Somit kam ich auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k! \cdot (3k)! }{(4k)!} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht, wie ich weiter kommen soll .. kann man da i.wie was kürzen und/oder vereinfachen? Ich hab nichts gefunden, wie mans einfacher schreiben könnte / hätte.. Deswegen weiß ich auch nicht, wie ich da jetzt die Konvergenz zeigen soll unglücklich

unglücklich

Danke vielmals schonmal für die Hilfe =)

13.12.2009, 07:48

Tarnfara

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RE: Reihenkonvergenz

Zitat:

Original von Explo
Nachdem ich nun 2h lang hin und her rechne und irgendwie immer vor dem gleichen Problem stehe frag ich einfach mal hier nach..

Die Aufgabe ist:

a) Zeigen sie, dass die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \begin{pmatrix} 4k \\ 3k \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$
(absolut) konvergiert.

ich hab zuerst den Binominialkoeefizienten ungeformt .. und dann wegen hoch -1 Nenner und Zähler vertauscht.. Somit kam ich auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k! \cdot (3k)! }{(4k)!} \end{eqnarray*}$

Ihr solltet verschiedene Methoden (Konvergenzkriterien) erlernt haben, deren Anwendung euch Auskunft über das Konvergenzverhalten einer Reihe geben kann. Eines davon ist besonders gut geeignet, um Fakultäten aufzulösen.

Grüße

13.12.2009, 12:27

Explo

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also probiert hab ichs schon mit dem Quotientenkriterium .. kam da dann auf

$\begin{eqnarray*} \frac{(4k)! \cdot (3k+3)! \cdot (k+1)}{(4k+4)! \cdot (3k)! \cdot k!} \end{eqnarray*}$

und das bringt mich ja auch i.wie nich wirklich weiter... wüsste nicht, was ich da wie abschätzen könnte =/

Nen anderes Kriterium ist mir nicht eingefallen, was da passen könnte.. und auch die Suche im Internet ergab keinen treffer..

=/

13.12.2009, 12:31

Tarnfara

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Zitat:

Original von Explo
also probiert hab ichs schon mit dem Quotientenkriterium .. kam da dann auf

$\begin{eqnarray*} \frac{(4k)! \cdot (3k+3)! \cdot (k+1)}{(4k+4)! \cdot (3k)! \cdot k!} \end{eqnarray*}$

und das bringt mich ja auch i.wie nich wirklich weiter... wüsste nicht, was ich da wie abschätzen könnte =/

Nen anderes Kriterium ist mir nicht eingefallen, was da passen könnte.. und auch die Suche im Internet ergab keinen treffer..

=/

Du hast den Gedanken angefangen, aber nicht zu Ende geführt, wie sieht denn zB. $\begin{eqnarray*} (4k+4)! \end{eqnarray*}$ aus, wenn man das "ausschreibt"?

Tipp: $\begin{eqnarray*} n! = 1 \cdot 2 \cdots (n-1) \cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = 1 \cdot \ 2 \cdots (n-1) \cdot n \cdot ? \end{eqnarray*}$

Gruß

13.12.2009, 13:38

Explo

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$\begin{eqnarray*} (4k + 4) = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k \cdot (k+1) \cdot ... \cdot 2k \cdot ... \cdot (4k+4) \end{eqnarray*}$

eigtl. kann ich den gesamen bruch dann ja so zusammenkürzen oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{(3k+1) \cdot (3k+2) \cdot (3k+3) \cdot (k+1)}{(4k+1) \cdot (4k+2) \cdot (4k+3) \cdot (4k+4)} \end{eqnarray*}$

womit ich dann ja sehe, dass das kleiner q für q < 1 is ... oooooder?

bitte bitte bitte sag(t) jetz ja xD

13.12.2009, 14:16

Tarnfara

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Zitat:

Original von Explo
$\begin{eqnarray*} (4k + 4) = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k \cdot (k+1) \cdot ... \cdot 2k \cdot ... \cdot (4k+4) \end{eqnarray*}$

eigtl. kann ich den gesamen bruch dann ja so zusammenkürzen oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{(3k+1) \cdot (3k+2) \cdot (3k+3) \cdot (k+1)}{(4k+1) \cdot (4k+2) \cdot (4k+3) \cdot (4k+4)} \end{eqnarray*}$

womit ich dann ja sehe, dass das kleiner q für q < 1 is ... oooooder?

bitte bitte bitte sag(t) jetz ja xD

^^

Das Quotientenkriterium benötigt einen Limes superior, der echt kleiner ist als 1, also was musst du machen, um aus obigem Ausdruck einen ordentlichen Grenzwert zu erhalten ?

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13.12.2009, 14:43

Explo

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aeh na ich würd des teil jetz zerlegen in 4 brüche, wovon jeder kleiner eins is somit der gesamte auch ...

sprich aus

$\begin{eqnarray*} \frac{(3k+1) \cdot (3k+2) \cdot (3k+3) \cdot (k+1)}{(4k+1) \cdot (4k+2) \cdot (4k+3) \cdot (4k+4)} \end{eqnarray*}$

bastel ich mir dann

$\begin{eqnarray*} \frac{3k+1}{4k+1} \cdot \frac{3k+2}{4k+2} \cdot \frac{3k+3}{4k+3} \cdot \frac{k+1}{4k+4} \end{eqnarray*}$

kann ich da dann einfach mal lim vor schreiben und = 0 machen? also reicht das?

13.12.2009, 14:47

Tarnfara

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Zitat:

Original von Explo
kann ich da dann einfach mal lim vor schreiben und = 0 machen? also reicht das?

Nein.
Hast du verstanden, wo der Unterschied zwischen lim inf , lim sup und limes ist ?

Es gibt eine Standardvorgehensweise, um von solchen Ausdrücken den Grenzwert zu ermitteln, der in diesem Beispiel vorhanden ist (Für das Quotientenkriterium braucht man aber nicht unbedingt einen richtigen Grenzwert.)

Tipp: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = ? \end{eqnarray*}$

Tipp² $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = ? \end{eqnarray*}$

Was deine andere Aufgabe anbetrifft. Schonmal drüber nachgedacht, warum da wohl so ein Hinweis mit k-te Wurzel drunter steht ? ;o

13.12.2009, 15:05

Explo

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lim sup ist der größte und lim inf der kleinste oder? (is lim dann eigtl. irgendeiner?)

und der lim sup des bruches ist dann 1 .. (der lim inf dann 0 oder? )

13.12.2009, 15:07

Tarnfara

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Zitat:

Original von Explo
lim sup ist der größte und lim inf der kleinste oder? (is lim dann eigtl. irgendeiner?)

und der lim sup des bruches ist dann 1 .. (der lim inf dann 0 oder? )

Aua.

unglücklich

Der kleinste und größte was ? Und was hat das alles mit einem Grenzwert zu tun ?

Bist du mal weitergekommen mit der Frage, wie nun konkret der Grenzwert meines Tipps aussieht ?

[edit]
lim inf ist der kleinste Häufungswert einer Folge, lim sup analog ihr größter. Das impliziert übrigens schon, dass wir uns in $\begin{eqnarray*} \overline {\mathbb R} \end{eqnarray*}$ aufhalten.

Insbesondere muss eine Folge nicht konvergieren, um lim sup und lim inf zu besitzen, zB.:

$\begin{eqnarray*} (-1)^n = 1, -1, 1, -1, ... \end{eqnarray*}$ hat welche Häufungswerte ? Wie sehen da lim inf und lim sup aus ?

Falls eine Folge konvergiert, bedeutet dies immer, dass lim inf = lim sup = lim ist.

Zurück zur Frage ursprünglichen Frage:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {n+1}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+ \frac {1}{n}}{1+\frac{2}{n}} = ? \end{eqnarray*}$

13.12.2009, 15:12

Explo

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Zitat:

Original von Tarnfara

Tipp: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = ? \end{eqnarray*}$

Tipp² $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

und mit größte und kleinste meine ich grenzwert.

Sorry, dass ich mich so doof anstelle unglücklich

unglücklich

Hammer

13.12.2009, 15:19

Tarnfara

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Zitat:

Original von Explo
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

und mit größte und kleinste meine ich grenzwert.

Sorry, dass ich mich so doof anstelle unglücklich

unglücklich

Hammer

Das macht nix, es sind mehr Menschen durch Übung groß geworden als durch Talent.

Die Ergebnisse sind richtig, wie bist du drauf gekommen (in meinem Edit steht ja eigentlich schon der Weg), wende das doch mal auf deinen Ausdruck an, dann bekommst du auch ein wasserdichtes Ergebnis und musst eigentlich nur noch begründen, warum der limes auch der lim sup ist :-)

P.S.: Falls der Grenzwert existiert, ist er eindeutig, da kann es keinen kleinsten und größten geben ! :-)

13.12.2009, 15:36

Explo

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

na im ersten, weil Nenner und Zähler "gleichschnell wachsen" und im 2. nur der nenner "wächst".

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left( \frac{3k+1}{4k+1} \cdot \frac{3k+2}{4k+2} \cdot \frac{3k+3}{4k+3} \cdot \frac{k+1}{4k+4}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = lim_{k \to \infty} \frac{3k+1}{4k+1} \cdot lim_{k \to \infty} \frac{3k+2}{4k+2} \cdot lim_{k \to \infty} \frac{3k+3}{4k+3} \cdot lim_{k \to \infty} \frac{k+1}{4k+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$

?

13.12.2009, 15:40

Tarnfara

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Fieser Trugschluss: Noch ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{4n}{3n} = ? \end{eqnarray*}$

Versuche bitte deinen Ausdruck auf Nullfolgen zurückzuführen, das kannst du machen wie in meinem Beispiel weiter oben.

Gruß

13.12.2009, 15:51

Explo

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left( \frac{3k+1}{4k+1} \cdot \frac{3k+2}{4k+2} \cdot \frac{3k+3}{4k+3} \cdot \frac{k+1}{4k+4}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{k \to \infty} \left( \frac{k}{k} \cdot \frac{3 + \frac{1}{k}}{4+\frac{1}{k}} \cdot ... \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1 \cdot \left( \frac{3 + 0}{4+0} \right) \cdot ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{3}{4} \cdot ... \end{eqnarray*}$

und das dann halt mit den anderen brüchen analog machen .. bringt mich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{27}{256} \end{eqnarray*}$

13.12.2009, 16:18

Explo

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mal zu b)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k} \cdot \frac{1}{k} \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{k}\right)^{k} \end{eqnarray*}$
zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_ {k \to \infty} sup \sqrt[k]{|(-1)^{k} \cdot \frac{1}{k} \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{k}\right)^{k}|} < 1 \end{eqnarray*}$

da komm ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \lim_ {k \to \infty} sup \sqrt[k]{|(-1)^{k} \cdot \frac{1}{k} \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{k}\right)^{k}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_ {k \to \infty} sup \left( 1 \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{k} \right) \cdot \sqrt[k]{|\frac{1}{k}|} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left( \frac{1}{3} + 0 \right) \cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} < 1 \end{eqnarray*}$

Wurzelkriterium impliziert absolute konvergenz ... wzbw

13.12.2009, 17:15

Tarnfara

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Jetzt hast du's ^^

13.12.2009, 17:17

Explo

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Daaaaaaaaaaaanke danke danke danke ! Mit Zunge

Mit Zunge

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