Mittelpunktsproblem bei einer Pyramide

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Sonogashira Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelpunktsproblem bei einer Pyramide
Hallo Allerseits!

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

"S(-2/-5/7) ist die Spitze einer quadratischen, geraden Pyramide. Die Grundfläche liegt in der Ebene E:2x+2y-z=6, der Eckpunkt A liegt auf der x-Achse.
Ermitteln sie die Koordinaten des Mittelpunktes."

So weit so gut... Ich habe sehr viel rumprobiert aber zum Erfolg hat dies leider nicht geführt... Im Internet habe ich dann zufällig eine Lösungshilfe zu genau dieser Aufgabe gefunden: forum.worldofplayers.de/forum/showthread.php?t=535698

Klang alles logisch, aber in der Praxis sieht es leider ganz anders aus.
Mein Problem ist beim Nachrechnen der Lösungshilfe, dass sich die beiden Gleichungen (Abstandsgleichung und Skalarproduktsgleichung) immer gegenseitig aufheben.

Ich hab mal meinen Rechenweg bis zu dieser Stelle abfotografiert:

[attach]12513[/attach]

[attach]12514[/attach]

Edit (Gualtiero): Bitte lade Bilder in Zukunft mit "Dateianhänge" hoch. Der erste Link war außerdem unvollständig, sodass ich erst mal raten und ergänzen musste. Das Bild müßte aber stimmen.

Könnt ihr mir vielleicht sagen wo bei mir der Wurm drin ist? Oder stimmt etwas mit dem verwendeten Ansatz nicht?

Ich bin für jede Hilfe mehr als dankbar! :-)


Schöne Grüße



PS: Das Ergebnis muss M(4|1|4) lauten
addor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelpunktsproblem bei einer Pyramide
Also offensichtlich ist I und II dasselbe. Wie kommst Du auf III? Und woher nimmst Du die Koordinaten des Eckpunkts A?
corvus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelpunktsproblem bei einer Pyramide
>
S(-2/-5/7) ist die Spitze einer quadratischen, geraden Pyramide.
Die Grundfläche liegt in der Ebene E:2x+2y-z=6,
der Eckpunkt A liegt auf der x-Achse.

PS: Das Ergebnis muss M(4|1|4) lauten smile
genau so ist es ..

und das erhältst du , wenn du den Durchstosspunkt der Geraden
(x,y,z)= (-2/-5/7) + t* (2/2/-1)
durch die Ebene E berechnest..

@addor :
der Eckpunkt A liegt auf der x-Achse. und natürlich auch in E smile
<
Sonogashira1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure beiden Antworten! smile

@corvus: Kannst du mir das Prinzip mit dem Durchstoßpunkt noch etwas näher erläutern?

Also ich nehme den Punkt S als Ortsvektor und den Normalenvektor als Richtungsvektor. t muss also 3 sein. Aber wie ermittle ich t? Weil in der Aufschreibe habe ich ja praktisch 3 Gleichungen und 4 (t,x,y,z) Variablen, oder?

Sorry wenn das jetzt sehr dumm gefragt ist, aber ich hab grad echt ein Brett vorm Kopf smile
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

>
Sonogashira
Sonogashira1 Wink
aber ich hab grad echt ein Brett vorm Kopf
.. vor welchem Kopf ?
also: warum nummerierst du deine Bretter nicht ebenso?

und dazu: "Aber wie ermittle ich t?"
für die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden gilt:
x= -2 + 2*t
y= -5 + 2*t
z= 7 - t

welcher dieser Punkte liegt dann auch noch in E?
..erfüllt also auch die Gleichung 2x+2y-z=6 ?


also: kannst du nun vielleicht über dein Brett echt hinausschauen ?
Sonogashira1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von corvus
>
Sonogashira
Sonogashira1 Wink
aber ich hab grad echt ein Brett vorm Kopf
.. vor welchem Kopf ?
also: warum nummerierst du deine Bretter nicht ebenso?


Sorry, ich konnte mich trotz eines neu zugeschickten Passworts nicht mehr mit dem "alten" Nick anmelden. Daher hab ich mich neu angemeldet und den selben Namen mit einer 1 versehen. Keine Sorge, das wird nicht induktiv so weiter gehen ;-)

Zitat:
Original von corvus
und dazu: "Aber wie ermittle ich t?"
für die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden gilt:
x= -2 + 2*t
y= -5 + 2*t
z= 7 - t

welcher dieser Punkte liegt dann auch noch in E?
..erfüllt also auch die Gleichung 2x+2y-z=6 ?


also: kannst du nun vielleicht über dein Brett echt hinausschauen ?


Man bin ich blöd, jetzt ist alles klar...

Ich bin dir mehr als dankbar! smile
 
 
Sonogashira1 Auf diesen Beitrag antworten »

So, der Mittelpunkt ist ja nun erfolgreich bestimmt, nun hat sich aber bei der Berechnung der Eckpunkte noch ein Problem aufgetan...

C habe ich mit C= A + 2*(M - A)= 2M -A berechnet. Die Länge der Seiten kann ich nun ja bestimmen und hab die Punkte A, C, S, und M. Aber ich schaffe es einfach nicht die Punkte B und D zu ermitteln.

Als Ansatz habe ich mir gesagt, das 0=<AM,DM>, 2Dx + 2Dy - Dz= 0 und |AM|=|DM| sein müssen. Allerdings komme ich auf diesem weg auch zu keinem Ergebnis... Und irgendwie muss das doch auch simpler gehen, oder?

Kann mir nochmal jemand helfen? Gott
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

>
noch ein Problem aufgetan...
...................................... wjze smile

ja.. es gibt so manch beschwerlichen Weg
.. versuch vielleicht mal so zur Lösung zu pilgern:

lege eine Ebene N durch M senkrecht zum Vektor AM
(Richtungsvektor zB (1/1/4) oder so..)

N geschnitten mit deiner Ebene E gibt eine Gerade g

g geht durch M und auf g liegen B und D

Rest klar?
<
Sonogashira1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine schnelle Antwort! smile

Ich hab jetzt die Schnittgerade errechnet, die Formel lautet g: x= (0/5/4) + t*(-9/9/0)

Ich hab nun geschaut wie t gewählt werden muss, durch einsetzen der Lösungen für x in die Schnittgeradengleichung. Dabei kamen einmal t=-7/9 für B und t=-1/9 heraus.

Doch mir ist nicht klar wie ich zu diesen normalerweise t komme. Einsetzten in die 1. Ebenengleichung hat nichts gebracht...

KAnnst du mir noch einmal helfen? ;-)
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

>
jetzt die Schnittgerade errechnet, die Formel lautet g: x= (0/5/4) + t*(-9/9/0)

ok, das ist ja schon richtig.
Ich schlage dir aber vor, als Startpunkt den Punkt M(4/1/4) zu nehmen (der liegt ja sicher auf g)
und auch den Richtungsvektor etwas handlicher zu notieren mit u=(-1/1/0)
.. dessen Betrag ist ja dann sqrt(2)

g: (x/y/z)= (4/1/4) + s* (-1/1/0)

Nun hat der Vektor AM = (1/1/4) den Betrag 3*sqrt(2) .. also ist |AM| = 3* | u | smile

und natürlich weisst du, dass |AM| = |MB| = |MD| ist ..

also kommst du nach B bzw D indem du OB bzw OD = OM ± 3* (-1/1/0) rechnest..

da hast du ja jetzt nur noch eine Kleinigkeit zu denken

und kommst hoffentlich nun klar?
smile
Sonogashira1 Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, jetzt ist endgültig alles klar!

Nochmal vielen Dank für deine Hilfe und Geduld! smile
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Nur als Ergänzung:
Man könnte auch die Möglichkeit nützen, mithilfe der HNF den Lotabstand (= Pyramidenhöhe) von S zur Ebene zu bestimmen.



. . . ergibt für Punkt S (-2 -5 7) den Abstand -9. Negatives Vorzeichen heißt, der Punkt liegt gegen die Richtung des Normalenvektors der Ebene. (Ist das richtig?, ich sehe es nur an meinem Rechenweg bestätigt.)

Der Normalenvektor der Ebene ist parallel zur Strecke SM (= Pyramidenhöhe).

Das bedeutet, wenn der Normalenvektor auf Länge 1 gesetzt und mit dem negativen Abstand, also (-9) * (-1) = 9, multipliziert und in S eingehängt wird, ergibt das den Mittelpunkt M.

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