keine Isomorphie von R[X] zu R

13.12.2009, 10:26	glawar	Auf diesen Beitrag antworten »
keine Isomorphie von R[X] zu R Hallo, wir sind nun bei Ringen angelangt und haben die Aufgabe gestellt bekommen, zu zeigen das zwischen den reellen Zahlen und dem polynomring über den Reellen Zahlen kein Isomorphismus existiert, wohl aber zwischen der additiven Gruppe der Reellen Zahlen und der additiven Gruppe der Polynome über den reellen Zahlen. Ich steh der zeit extrem aufm schlauch wie ich da rangehen soll, über Einstiegstripps zu einem Beweis wäre ich dankbar. Danke im Vorraus, Glawar
13.12.2009, 11:07	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Der Ring der reellen Zahlen ist sogar ein Körper.
13.12.2009, 13:13	glawar	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst also ich soll argumentieren, dass es zwischen den Körper R und dem Polynomring R[X] keine Isomorphie geben kann, da R[X] kein Körper ist, da in R[X] das Multiplikative inverse fehlt?
13.12.2009, 13:24	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm doch mal an es gäbe eine Isomorphie. Dann betrachte $\begin{eqnarray} I(x \cdot x^{-1}) \text{ für } x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \text{ und } I^{-1}(p) = x \text{ für ein } p \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray}$ da gibts sofort den Widerspruch wenn Du dir ein Polynom p hernimmst dass kein multiplikatives Inverses hat.
13.12.2009, 13:28	glawar	Auf diesen Beitrag antworten »
Also genau das was ich im 2. Posting vermutet habe, danke. Nun werde ich für den 2. Teil der Aufgabe nicht umhin kommen einen Isomorphismus anzugeben, um zu zeigen das ein solcher existiert. Da ich mehr der "bildliche" typ bin, mir also so sachen vorstellen muss, wird das bei den beiden Gruppen schwer . Ich werd hier was reinschreiben wenn ich einen finde.
14.12.2009, 15:55	glawar	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe leider bisher keinen gefunden . Für $\begin{eqnarray} \alpha_1x^n \end{eqnarray}$ brauch ich doch alle reellen Zahlen?
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14.12.2009, 17:14	glawar	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mir überlegt, dass man für jeden koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha_n \end{eqnarray}$ einfach eine eindeutige zahlenfolge bestimmen müsste, die überlappungsfrei zu den anderen folgen ist, diese Folge würde dann die Stellen einer natürlichen Zahl x beschreiben, an denen $\begin{eqnarray} \alpha_n \end{eqnarray}$ kodiert ist.
14.12.2009, 17:44	gast100	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Sache scheint mir nicht so einfach. Unter Verwendung von ein bisschen Mengenlehre kann man es wie folgt begründen. Sicherlich ist IR[X] als IR-Vektorraum isomorph zu $\begin{eqnarray} \oplus_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , also sind sie erst recht als IQ-Vektorräume isomorph. Sei $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ die Dimension von IR als IQ-Vektorraum (das ist eine unendliche Kardinalzahl). Dann ist die Dimension von $\begin{eqnarray} \oplus_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \mathbb{N}\cdot \kappa \end{eqnarray}$ . Aber $\begin{eqnarray} \mathbb{N}\cdot \kappa=\kappa \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ unendlich ist. Also haben IR und IR[X] dieselbe Dimension als IQ-Vektorraum, sind also als IQ-Vektorräume isomorph und damit erst recht als abelsche Gruppen.

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