Spur,Matrixmultiplikation

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13.12.2009, 11:59	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur,Matrixmultiplikation Hallo Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: Für eine Matrix $\begin{eqnarray} M=(m_{ij})_{ij=1,...} \end{eqnarray}$ bezeichnet $\begin{eqnarray} SpurM:=\sum\limits_{i=1}^n {m_{i,i}} \end{eqnarray}$ die Spur von M. Zeigen Sie: Für zwei beliebige Matrizen $\begin{eqnarray} A \in K^{nxm} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \in K^{mxn} \end{eqnarray}$ gilt Spur(AB)=Spur(BA). Ich weiß, dass die Spur der Matrix die Diagonale der Matrix ist. Wie ich das aber oben beweise, weiß ich nicht. Wäre lieb, wenn mir da jemand helfen könnte. LG estrella28
13.12.2009, 14:05	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht denn ein Element aus der Diagonale bei AB bzw BA aus? Mit Matrixmultiplikation kann man anfangen mit $\begin{eqnarray} C:=AB=c_{ij};~c_{kk}=...;~k=1,... \end{eqnarray}$ Was muss hier bei den "..." hin? Von wo bis wo läuft k? Dasselbe dann noch mit $\begin{eqnarray} D:=BA=d_{ij} \end{eqnarray}$ und nachsehen, ob es über alle Diagonalelemente summiert nicht ( zufälliger Weise ) gleich ist. Ich habe es nicht durchgerechnet, aber es sieht nach einer relativ stupiden Rechnung mit viel Summen umher schieben aus. Anschaulich: [attach]12523[/attach] Egal wie man summiert, jedes Element wird am Ende genau einmal getroffen ( in der Spur, Summation über die Diagonalelemente ) edit: einen ";" eingefügt gegen mögliche Missverständnisse
13.12.2009, 14:25	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß immer noch nicht genau, wie ich das mathematisch beweisen soll... ich habe jetzt die allgemeinen formeln für AB, BA und Spur(AB), Spur(BA) hingeschrieben, mein problem ist wie ich jetzt von Spur(AB) zur Spur(BA) komme durch umformen...
13.12.2009, 14:50	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du die Fragen aus meinem letzten Post beantworten? Wenn ich mich nicht vertan habe ist es nur ein mal Summen umher schieben, es geht also hauptsächlich um das handhaben mit der Summenschreibweise. Wie lauten denn nun die Ausdrücke für die $\begin{eqnarray} c_{kk} \end{eqnarray}$ von AB und das dementsprechende von BA?
13.12.2009, 15:14	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das so richtig für AB: $\begin{eqnarray} c_{i,i}=\sum\limits_{k=1}^m {a_{ik}b_{ki}} \end{eqnarray}$ und für BA $\begin{eqnarray} d_{i,i}=\sum\limits_{k=1}^n {b_{ik}a_{ki}} \end{eqnarray}$
13.12.2009, 15:34	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also? $\begin{eqnarray} Tr(AB)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^ma_{ik}b_{ki}=... \end{eqnarray}$ Was darfst du mit den Summen tun? Was darfst du mit den Gliedern tun ( Kommutativgesetz gilt natürlich... ) ?
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13.12.2009, 15:38	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist ja eine Doppelsumme, kann ich die beiden Summenzeichen einfach tauschen, obwohl sie eine unterschiedliche Länge haben? b und a kann ich ja auch tauschen weil K ein Körper ist und in Körpern gilt die Kommutativität.
13.12.2009, 15:45	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich habe die Summen und die Glieder vertauscht, aber was mache ich mit den indizes?
13.12.2009, 16:19	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu den Summen: Nehmen wir mal zur Vereinfachung der Erklärung nur eine Variable mit zwei Indices. Ob du jetzt zuerst $\begin{eqnarray} x_{11}+x_{12}+x_{13}+...+x_{1n} \end{eqnarray}$ und dann diese "Zeilen" ( schlechter Ausdruck, hat mit Matrix-Zeilen nichts zu tun, es ist aber klar, was gemeint ist ) aufsummierst oder zuerst $\begin{eqnarray} x_{11}+x_{21}+x_{31}+...+x_{m1} \end{eqnarray}$ und dann diese "Spalten" ( ebenso schlechter Ausdruck ) aufsummierst, es kommt offensichtlich dasselbe heraus: $\begin{eqnarray} \begin{array}{ccccc}<br /> x_{11} & +x_{12} & ... & +x_{1n} \\<br /> +x_{21} & +x_{22} & ... & ... \\<br /> ... & ... & ... & ... \\<br /> +x_{m1} & ... & ... & +x_{mn}<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ Jedes Element wird einmal dazu addiert. Was soll also mit den Indices passieren? Wohl reichlich wenig. Wie du die Indices nennst ist wohl auch total egal, es geht schließlich nur darum, welche Nummern alle vorkommen. Was steht also am Ende dort?
13.12.2009, 16:37	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, hat mir wirklich geholfen :-)

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