sinh(x) streng monoton wachsend?

13.12.2009, 12:39

lilithilli1210

sinh(x) streng monoton wachsend?

Hi,

hier mal wieder eine Aufgabe, wo ich absolut nicht weiterkomme.

Zeigen Sie, dass die durch

$\begin{eqnarray*} sinh(x):= \frac{1}{2} (e^x - e^{-x)} , x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

definierte Funktion $\begin{eqnarray*} sinh: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist, ihr Bild ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, und die mit Arsinh bezeichnete Umkehrfunktion gilt:

$\begin{eqnarray*} Ar sinh(x)= log(x+ \sqrt{x^2 +1} ) , x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

was bedeutet denn überhaupt sinh(x) ? ist das ein bestimmter Sinus?

Wo muss ich bei der Aufgabe anfangen?

Welche Sätze und Defintionen werden gebraucht??

Hoffe jmd kann mir weiterhelfen smile

Lili

13.12.2009, 12:50

wisili

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RE: sinh(x) streng monoton wachsend?
Anstelle des Namens sinh(x) kannst du ebensogut f(x) verwenden.

(Diese Funktion hat mit dem trigonometrischen Sinus nichts zu tun,
sie heisst «hyperbolischer sinus». Eine Verwandtschaft der beiden wird
erst in der Differenzialrechnung erkennbar. Und die Rechtfertigung der
Namensgebung stammt aus dem Vergleich verschiedener «Geometrien».)

13.12.2009, 12:54

Mazze

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Zitat:

was bedeutet denn überhaupt sinh(x) ?

Das steht doch da :

$\begin{eqnarray*} sinh(x):= \frac{1}{2} (e^x - e^{-x)} , x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

So ist der Definiert. Er hat zum Beispiel die nette Eigenschaft das $\begin{eqnarray*} \sinh(x)' = \cosh(x) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wo muss ich bei der Aufgabe anfangen?

Streng Monoton steigend bedeutet : $\begin{eqnarray*} \sinh(x) < \sinh(x + \varepsilon) \text{ für } \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$

Das ist also zu zeigen. Das ist aber nahezu trivial wenn man weiss das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ streng monoton steigt und $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ streng monoton fällt.

Das dass Bild ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, auch nicht so schwer da Ihr ja die Urbilder schon gegeben habt. Du musst dich nur Fragen ob für alle $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \log(y + \sqrt{y^2 + 1}) \end{eqnarray*}$ definiert ist, warum folgt daraus die Surjektivität?

13.12.2009, 13:33

lilithilli1210

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ok das mit sinh(x) hab ich jez verstanden, hatte irgendwie die ganze zeit gedacht, das muss was mit der normalen sinusfkt zu tun haben.

so da ja dann e^x monoton steigend ist und e^-x monoton fallend is, müsste ja dann -e^-x wieder monoton steigend sein oder?
also die ganze fkt monoton steigend?

so dann hab ich mir überlegt dass ich dann versuchen kann die grenzwerte zu bestimmen. also gegen - unendlich und + unendlich.

kann ich dann den zwischenwertsatz anwenden? weil dann wäre ja evtl die surjektivität gezeigt oder?

nur wie das mit der umkehrfkt dann noch geht, weiß ich jez immer noch nich...

LG Lili

13.12.2009, 13:51

Mazze

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Also die strenge motonie hätte ich so gezeigt, sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} \sinh(x + \varepsilon) = \frac{1}{2}\left(e^{x + \varepsilon} - e^{- (x + \varepsilon)}\right) > \frac{1}{2}\left(e^{x + \varepsilon} - e^{-x}\right) > ... = \sinh(x) \end{eqnarray*}$

Wenn Du die Punkte ausfüllst hast Du die Monotonie. Was die Surjektivität angeht, Du kannst es vollständig ohne Grenzwerte tun, wenn Du einfach nur die Definition benutzt. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ heisst surjektiv, wenn es für alle $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ . Sei also

$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

es ist zu zeigen dass es dann ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \sinh(x) = y \end{eqnarray*}$ . Das x habt ihr sogar schon gegeben, setze $\begin{eqnarray*} x = \log(y + \sqrt{y^2 + 1}) \end{eqnarray*}$

Dann musst Du nur noch 2 Sachen tun :

1) zeigen das der Ausdruck für alle $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert ist (nicht schwer)
2) zeigen das $\begin{eqnarray*} \sinh( \log(y + \sqrt{y^2 + 1})) = y \end{eqnarray*}$ ist (nur ausrechnen).

13.12.2009, 23:21

lilithilli1210

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$\begin{eqnarray*} \sinh(x + \varepsilon) = \frac{1}{2}\left(e^{x + \varepsilon} - e^{- (x + \varepsilon)}\right) > \frac{1}{2}\left(e^{x + \varepsilon} - e^{-x}\right) > \frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) = \sinh(x) \end{eqnarray*}$ oder??

weil es is ja klar, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(e^{x + \varepsilon} - e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ größer ist als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

weil ja epsilon größer null ist...

das mit der surjektivität wie du gesagt hast probier ich morgen aus, das krieg ich grad net auf die reihe.

aber kann ich nich auch den zwischenwertsatz benutzen? also geht das hier nicht, oder ist das andere einfach besser?

Gute N8 Lili

14.12.2009, 07:55

Mazze

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Zitat:

weil es is ja klar, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(e^{x + \varepsilon} - e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ größer ist als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ weil ja epsilon größer null ist...

Ja!

Zitat:

aber kann ich nich auch den zwischenwertsatz benutzen? also geht das hier nicht, oder ist das andere einfach besser?

Kannst Du, zu vor musst Du dann aber noch zeigen das dass Ding auch stetig ist. Wenn Du dir die Mühe machen willst. Ich würde einfach die Definition anwenden.

14.12.2009, 10:38

lilithilli1210

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aber kann ich denn einfach so die umkehrfunktion benutzen auch wenn ich zeigen soll, dass diese gilt...?

steigtkeit zu zeigen ist doch recht einfach, da die Funktion ja eine Summe auch zwei stetigen Funktionen (1/2 e^x und -1/2 e^-x) ist, oder?
jedenfalls hatten wir das mal so in einer andern aufgabe benutzt, dass die summe aus zwei stetigen Funktionen immer stetig ist...

LG Lili

14.12.2009, 10:40

lilithilli1210

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mir ist grad noch was ins auge gefallen:

kann ich nicht die umkerhfunktion beweisen, indem ich mit der identität arbeite, also

f ° f^-1 = f^-1 ° f = id ?

LG Lili

14.12.2009, 18:04

lilithilli1210

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könnte mir jmd bitte nochma sagen, ob ich die stetigkeit so zeigen kann, wie ich es zwei beiträge vorher beschrieben hab...?? verwirrt

LG Lili

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