Lokale Minima

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10.06.2004, 13:49	Alain	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Minima Hi! Ich war ne woche krank und hab deswegen zwei Vorlesungen verpasst. Jetzt muss ich Hausaufgaben machen und weiß nicht wie das geht und werd auch aus meinen Büchern nicht schlau. Wäre schön, wenn mir da jemand helfen könnte: Es sei $\begin{align} f: \calR^2 \rightarrow \calR, f(x, y) = (y - x^2)(y - 2x^2) \end{align}$ gegeben. Zeigen Sie dass a) für beliebige $\begin{align} a, b \in \calR, (a, b) \neq (0, 0) \end{align}$ die Funktion $\begin{align} \varphi : \calR \rightarrow \calR, \varphi (t) = f(at, bt) \end{align}$ ein isoliertes lokales Minimum in $\begin{align} (0, 0) \end{align}$ hat. b) Zeigen Sie, dass $\begin{align} f \end{align}$ in $\begin{align} (0, 0) \end{align}$ kein lokales Minimum hat. (Für welche $\begin{align} (x, y) \end{align}$ gilt $\begin{align} f(x, y) > 0 \end{align}$ bzw. $\begin{align} f(x, y) < 0 \end{align}$ ?) Schonmal vielen Dank!
10.06.2004, 13:55	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Setze mal die Funktion in die Definition von $\begin{align} \varphi \end{align}$ ein und schreib das Ergebnis hin. Das ist eine gewöhliche Funktion von R nach R, deren Minimum man wie üblich mit der ersten Ableitung bestimmen kann.
10.06.2004, 14:30	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, is ja ne Aufgabe aus der Weidmann-Vorlesung... Für b kann man z.B. y=** und y=** einsetzen... Liebe Grüße Mario P.S.: Musste nach Schimpfen (s.u.) die Lösung durch einen Tipp ersetzen): Wie kann man a wählen, dass für y=ax^2 die entstprechenden Beziehungen in (b) erfüllt sind? Hoffe das geht als Tipp durch....
10.06.2004, 14:48	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mario: Die Lösung wird im allgemeinen nicht als hilfreicher Tipp betrachtet.
12.06.2004, 12:41	Alain	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey! Vielen Dank! Weidmann-Vorlesung? Sieht so aus als würden die Universitäten was die Aufgabenstellungen angeht da regen Austausch betreiben. Mein Mathe-Professor heißt Merkle. Also, ich hab schonmal die a) gemacht und würde mich freuen, wenn sich die mal jemand anschauen würde, insbesondere weil ich bei Ableitungen ganz gerne Fehler mache und auch für formale Fehler immer mal wieder Abzüge bekomme :P $\begin{align} f \, : \, \calR^2 \, \rightarrow \calR, \, f(x, y) \, = \, (y - x^2)(y - 2x^2) \end{align}$ z.Z.: Die Funktion $\begin{align} \varphi (t) \, = \, f(at, bt) \end{align}$ hat für beliebige $\begin{align} a, b \, \in \, \calR, \, (a, b) \, \neq \, (0, 0) \end{align}$ ein isoliertes lokales Minimum in $\begin{align} (0, 0) \end{align}$ . Notwendige Bedingung $\begin{align} \varphi '(t_0) = 0 \end{align}$ $\begin{align} \varphi (t) = (bt - a^2t^2)(bt - 2a^t^2) \end{align}$ Ableiten mit Produktregel $\begin{align} \varphi ' (t) = (b - 2a^2t)(bt - 2a^2t^2) + (bt - a^2t^2)(b - 4a^2t^2) \end{align}$ $\begin{align} = \; 2b^2t + 4a^2bt^2 - 3a^2bt^2 - 3a^2bt^2 + 4a^4t^3 - 4a^2bt^3 + 4a^4t^4 \end{align}$ $\begin{align} t = t_0 = 0 \end{align}$ $\begin{align} \varphi ' (0) = 2b^2 \cdot 0 + 4a^2b \cdot 0^2 - 3a^2b \cdot 0^2 + 4a^4 \cdot 0^3 - 4a^2b \cdot 0^3 + 4a^40^4 \; = \; 0 \end{align}$ Somit ist die notwendige Bedingung erfüllt Hinreichende Bedingung $\begin{align} \varphi ''(t_0) > 0 \end{align}$ $\begin{align} \varphi ''(t) = 2b^2 + 8a^2bt - 6a^2bt + 12a^4t^2 - 12a^2bt^2 + 16a^4t^3 \end{align}$ $\begin{align} t = t_0 = 0 \end{align}$ $\begin{align} \varphi ''(0) = 2b^2 + 8a^2b \cdot 0 - 6a^2b \cdot 0 + 12a^4 \cdot 0^2 - 12a^2b \cdot 0^2 + 16a^4 \cdot 0^3 \; = \; 2b^2 \end{align}$ Da $\begin{align} (a, b) \, \neq \; (0, 0) \end{align}$ gilt $\begin{align} 2b^2 > 0 \end{align}$ Somit ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt. Es ist offensichtlich, dass gilt $\begin{align} \varphi (0) \, = \, 0 \end{align}$ . Somit hat $\begin{align} \varphi (t) \end{align}$ ein lokales Minimum in $\begin{align} (0, 0) \end{align}$ Kurze Frage noch: Isoliertes lokales Minimum, ist das was anderes als ein "relatives Minimum"? Was sagt mir das Wort "lokal"? Schonmal vielen Dank!
12.06.2004, 15:06	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Kurvendiskussion von phi ist richtig. Unter einem relativen Minimum verstehe ich dasselbe wie unter einem lokalen Minimum. Die Isoliertheit ist jedoch eine Zusatzbedingung: Ein isoliertes Minimum muss in einer Umgebung das einzige Minimum sein. Dafür ist es hinreichend, dass die erste Ableitung in dem Punkt eine isolierte Nullstelle hat. Die Funktion $\begin{align} g(x) = \left\{\array{x^2&\rm{falls}&x\geq 0\\ 0&\rm{falls}&x\leq 0}\right. \end{align}$ hat in jedem Punkt x <= 0 ein lokales Minimum, aber keins von denen ist isoliert. @Mario: Der Tipp, den du gegeben hast, ist mir schon deutlich angenehmer. Damit kommt Alain sicherlich selbst auf geeignete Punkte, wenn er/sie diesen Tipp in die Funktion f einsetzt. @Alain: Betrachte die Funktion phi_a(x) = f(x, a x^2), und finde ein a, so dass phi_a im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum, und ein a, für das phi_a im Nullpunkt ein isoliertes lokales Maximum hat.
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12.06.2004, 16:34	Alain	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, SirJective! Ich muss also zeigen, dass $\begin{align} \varphi ' (t) \end{align}$ eine isolierte Nullstelle hat? Wie mach ich das? In welcher Umgebung muss ich das zeigen? Fragen über Frage :P Sorry, dass ich dich hier so löchere, aber ich bin etwas ratlos...
12.06.2004, 17:02	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier reicht zu wissen: Damit eine Funktion überhaupt nichtisolierte Nullstellen haben kann, muss sie unendlich viele Nullstellen haben. Und jedes Polynom hat nur endlich viele Nullstellen. Da phi' ein Polynom vierten Grades in t ist, hat diese Funktion höchstens vier Nullstellen. Jede dieser Nullstellen ist isoliert: Die höchstens drei anderen Nullstellen haben einen positiven Abstand. Wie groß dieser Abstand tatsächlich ist, ist dabei egal. Zum Fragen stellen ist dieses Board da - nur dann kann man dir hier helfen! Wenn du also noch wissen willst, warum allgemein eine Funktion mit nur endlich vielen Nullstellen nur isolierte Nullstellen haben kann, frag nach...
12.06.2004, 17:22	Alain	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... eine Funktion wie f(x) = x + 25 hat ja maximal eine Nullstelle, weil man dafür die Gleichung x + 25 = 0 lösen muss und die hat nur eine Lösung. f(x) = x^2 + 5x +17 hat maximal zwei Nullstellen, weil man dafür die Gleichung x^2 + 5x +17 = 0 Lösen muss, und das geht mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen, die maximal zwei Lösungen hat. Warum das aber für höhere Polynome auch so ist würde mich schon interessieren
12.06.2004, 17:26	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du das Verfahren "Polynomdivision"? Wenn du ein Polynom vom Grad n durch einen Linearfaktor (x-x0) teilst (wobei x0 eine Nullstelle des Polynoms ist), erhältst du ein Polynom vom Grad n-1. Mit vollständiger Induktion folgt daraus, dass ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen haben kann.
12.06.2004, 23:28	Alain	Auf diesen Beitrag antworten »
An Polynomdivision hab' ich jetzt nicht gedacht. Leuchtet aber ein. Vielen Dank für die Erklärung.
13.06.2004, 17:08	Alain	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich jetzt mal an die b) gemacht, komm aber nicht so recht weiter. Ich soll zeigen, dass f in (0, 0) kein lokales Minimum hat. f is gegeben als $\begin{align} f: \calR^2 \rightarrow \calR, f(x, y) = (y - x^2)(y - 2x^2) \end{align}$ Für alle $\begin{align} 2x^2 > y \end{align}$ ist f(x, y) < 0. Für $\begin{align} 2x^2 = y \end{align}$ und $\begin{align} x^2 = y \end{align}$ für ist f(x, y) = 0. Für alle $\begin{align} 2x^2 < y \end{align}$ ist f(x, y) > 0. Ich bin nur nicht sicher wie mir das weiterhilft... Kann mir da nochmal jemand einen Tipp geben. Ich hab mir die bisherigen Vorschläge angeschaut, aber bin daraus nicht so recht schlau geworden... schonmal vielen Dank im Voraus!
13.06.2004, 20:37	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Um nachzuweisen, dass f an der Stelle (0,0) kein Minimum hat, musst du Punkte (x,y) finden, die beliebig dicht bei (0,0) gewählt werden können, so dass f(x,y) < f(0,0) ist. Du hast geschrieben, dass für 2x^2 > y diese Bedingung erfüllt ist. Leider ist das nicht richtig. Wähle y=0, dann ist f(x,y) = 2x^4 > 0 für x =/= 0. Du musst also die Vorzeichen der beiden Klammern genauer untersuchen. Für die Aufgabe musst du dann eine Folge von Punkten (x_n,y_n) angeben, die gegen (0,0) konvergiert und die Bedingung f(x_n,y_n)<0 erfüllt.
14.06.2004, 11:59	Alain	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und nochmals Danke! Ich bin jetzt auf die Bedingung y > x^2 und y < 2x^2 gekommen hab aber im nachhinein (ich hab die Aufgabe heute morgen abgeben müssen) gemerkt, dass das nur für positive x, y stimmt. Die Aufgaben werden erst nächste Woche besprochen, aber ich wüsste gerne jetzt schon, für welche y die Bedingung erfüllt ist. Ich hab heute noch ein bisschen rumgerätselt, bin aber nicht draufgekommen und jetzt lässt es mich nicht mehr los Wenn jemand kurz Zeit hätte, würde ich mich über eine Antwort freuen. Vielen Dank!
14.06.2004, 14:00	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Bedingung die du nun gefunden hast, x^2 < y < 2 x^2 ist richtig. Fuer alle x und alle y, die diese Bedingung erfuellen, gilt F(x,y) < 0: F(x,y) = (y - x^2) (y - 2 x^2) Da y > x^2 ist die erste Klammer positiv. Da y < 2 x^2 ist die zweite Klammer negativ. Offensichtlich sind alle y, die diese Bedingung erfuellen, positiv, aber das macht nichts. Jetzt nimm dir fuer jedes x ein bestimmtes y, das diese Bedingung erfuellt - such dir eins aus. Zum Beispiel, wie Mario schon vorschlug, finde ein c so dass y := c x^2 die Bedingung erfüllt Das geht natürlich nur für x <> 0, weil für x = 0 die Bedingung lauten würde: 0 < y < 0, und die ist nicht erfüllbar. Aber du stellst fest, dass du mit dem x beliebig nahe an die 0 herangehen kannst, und stets ein y findest, das die Bedingung erfüllt. Und dieses y geht auch nahe an die 0 heran.

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