Problem mit Mengenlehre, Äquivalenzrelationen

13.12.2009, 13:11	Domokun	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Mengenlehre, Äquivalenzrelationen Hallo Leute, meine Lerngruppe und ich verzweifeln gerade etwas an einer Aufgabe. Wir sind eigentlich Musikwissenschaftler, drum haben wir mit Mathematik nicht viel am Hut, trotzdem müssen wir die Aufgaben gut lösen damit wir zur Klausur zugelassen werden... würg? Wäre super wenn ihr uns die Aufgabenstellung etwas verständlicher formulieren könntet, für uns ist das einfach nur ein großes Fragezeichen :-) Ich danke euch schonmal für jede Art von Hilfe! [attach]12520[/attach]
13.12.2009, 13:55	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal sollte man sich klar machen, was eine Äquivalenzrelation ist. Eine Eigenschaft steht schon da $\begin{eqnarray} R \subseteq M \times M \end{eqnarray}$ . Das ist also nichts anderes als eine Menge von (transponierten) Vektoren. Eine Äquivalenrelation ist z.B. $\begin{eqnarray} \{(0,0),(1,1),(2,2) \} \end{eqnarray}$ . Allerdings ist $\begin{eqnarray} \{(0,0),(1,1) \} \end{eqnarray}$ keine Äquivalenzrelation, da nicht reflexiv. $\begin{eqnarray} (2,2) \end{eqnarray}$ fehlt. $\begin{eqnarray} \{(0,0),(1,1),(2,2),(1,2) \} \end{eqnarray}$ ist auch keine Äquivalenzrelation, da nicht symmetrisch. $\begin{eqnarray} (2,1) \end{eqnarray}$ fehlt. Schließlich ist auch $\begin{eqnarray} \{(0,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2) \} \end{eqnarray}$ keine Äquivalenzrelation, da nicht trabsitiv. $\begin{eqnarray} (1,3),(3,1) \end{eqnarray}$ fehlen. Da das recht kompliziert ist, kann man vielleicht besser in Äquivalenzklassen denken. Das kann man sich vorstellen wie 3 Töpfe auf die man die Elemente aufteilen kann. Man kann sich leicht überlegen, dass jede Äquivalenzrelation genau einer Aufteilung auf die Töpfe (die man besser Äquivalnezklassen nennen sollte) entspricht. 2 Elemente $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ sind dabei in der selben Äquivalenzklasse, wenn $\begin{eqnarray} (a,b) \in R \end{eqnarray}$ ist. Im Beispiel $\begin{eqnarray} \{(0,0),(1,1),(2,2) \} \end{eqnarray}$ . bedeutet das, dass $\begin{eqnarray} 0,1,2 \end{eqnarray}$ in 3 verschiedenen Äquivalenzklassen sind.
13.12.2009, 14:11	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Mengenlehre, Äquivalenzrelationen http://de.wikipedia.org/wiki/Partition_(Mengenlehre) http://de.wikipedia.org/wiki/Bellsche_Zahl Der erste Link gibt die Antwort von (a), allerdings für die Elemente 1,2,3 statt 0,1,2. Der zweite Link nennt die Rekursionsformel; eine explizite würde ich nicht suchen. Bei (c) enthält die Menge offenbar alle Paare (x,y), deren Differenz durch p aufgeht (d.h. m-faches von p ist). x und y stehen offenbar genau dann in Relation, wenn sie denselben Divisionsrest bezüglich dem Teiler p haben. Wenn man die Halbtöne aufsteigend durchnummeriert, stehen sie offenbar genau dann in der $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ -Relation, wenn sie sich (nur) um (evtl. mehrere) ganze Oktaven unterscheiden (oder identisch sind).
14.12.2009, 23:39	Domokun	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo leute, vielen vielen Dank für eure raschen und hilfreichen Antworten. Mit diesen Tips haben wir die Aufgaben letzendlich doch lösen und sogar verstehen können

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