kommutativer Ring mit 1 |
| 13.12.2009, 14:30 | Schnecke8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| kommutativer Ring mit 1 [attach]12524[/attach] |
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| 13.12.2009, 15:59 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: kommutativer Ring mit 1 Hallo! Was passiert denn, wenn a=0 oder Nullteiler ist? Grüße Abakus 
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| 13.12.2009, 16:25 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: kommutativer Ring mit 1 Setze b=1. |
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| 13.12.2009, 17:06 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: kommutativer Ring mit 1
b ist fest, aber beliebig; und damit vorgegeben. Grüße Abakus
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| 13.12.2009, 21:16 | Schnecke8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Verwirrung... Sorry, was soll ich jetzt tun...bin jetzt irgendwie verwirrt... habe a 0 gesetzt...aber was sagt mir das dann...mmmh... demnach wäre 0=b...bitte um weitere Hilfe! |
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| 14.12.2009, 10:02 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Verwirrung... Beim 2. Teil deiner Aufgabe geht es doch darum, ob eine Gleichung a x = b auch dann immer eindeutig lösbar ist, wenn a keine Einheit ist. Ich schlage nun den Spezialfall b=1 vor: Wir wollen also a x = 1 lösen. Die Antwort heisst: Wenn diese Gleichung eine Lösung hat, dann muss sie das Inverse von a sein und somit ist a eben doch eine Einheit. Dies im Widerspruch zur Annahme am Anfang. (Das ist auch in Integritätsringen, also Ringen ohne Nullteiler so! Erst nachdem ein Integritätsring zum Körper erweitert wurde, sind alle Inversen vorhanden und die Gleichung a x = b für a<>0 eindeutig lösbar. Im Körper hat es allerdings neben 0 auch gar nichts anderes als Einheiten.) |
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| 14.12.2009, 21:19 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Verwirrung...
Ja, einverstanden.
Da löst du eine andere Aufgabe (ich verstehe sie offenbar anders als du): das b ist fest vorgegeben und i.A. verschieden von 1. Im Spezialfall b=1 hast du allerdings bewiesen, dass es dann keine Lösung gibt.
Betrachte einmal den Integritätsring der Polynome , in diesem lässt sich zB die folgende Gleichung aufstellen: ist keine Einheit, aber ist dennoch eine eindeutige Lösung. @ Schnecke8: Entschuldige die Verwirrung, vermutlich reicht es hier, einfach zu schreiben, dass die Gleichung im Fall a keine Einheit nicht für beliebige b eindeutig lösbar ist und dazu ein Beispiel anzugeben (zB das von wisili). In einigen Fällen klappt es mit der eindeutigen Lösbarkeit aber dennoch. Grüße Abakus
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| 16.12.2009, 11:51 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Verwirrung... Zitat Betrachte einmal den Integritätsring der Polynome , in diesem lässt sich zB die folgende Gleichung aufstellen: ist keine Einheit, aber ist dennoch eine eindeutige Lösung. Zitatende Weder ist p(x) eine Lösung noch ist sie eindeutig. Eine «Lösung»p(x) in der die Lösungsvariable x vorkommt, ist keine. Und x = 0 ist eine Lösung. |
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| 16.12.2009, 23:17 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Polynomring als Beispiel
Es geht hier um den Polynomring (s. Wiki) und das Rechnen darin, nicht jedoch um die Auflösung nach x. x selbst ist ein Element des Polynomrings (und hier keine Variable). Eine Lösung p(x) muss also ein Polynom sein (und das Nullpolynom passt nicht). Grüße Abakus
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| 17.12.2009, 11:05 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Polynomring als Beispiel Ja, da hast du recht: Ich hätte für deinen Ringvorschlag automatisch die Lösungsvariable von x zu p wechseln sollen. Aber wir reden trotzdem grotesk aneinander vorbei. Das Problem war doch, ob a x = b immer eindeutig lösbar sei. Meine Behauptung wollte ich so verstanden haben: Wenn man den Allquantor wenigstens für b fordert (Für alle b ...), dann kann man ihn nicht auch auf a anwenden, sondern man muss a dann auf Einheiten einschränken, um eindeutige Lösbarbeit noch garantieren zu können. Dass es immer einzelne Gleichungen gibt, die eindeutig lösbar sind (auch ohne dass a Einheit ist), ist klar, z.B. wenn a=b. Ende des Dialogs |
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| 18.12.2009, 20:33 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Polynomring als Beispiel Dann stelle ich noch die verbleibende Frage zur Diskussion: Nehmen wir an, und sind vorgegeben und wir haben die Gleichung: Unter welchen Bedingungen (an den Ring, an oder an ?) existiert nun eine eindeutige Lösung? Grüße Abakus
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| 18.12.2009, 22:56 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@wisili Wieso ist übrigens stets eindeutig lösbar oder hab ich da was mißverstanden?... Ich sehe zwar, dass x=e, wenn e das Einselement des Rings ist, stets Lösung ist, aber es kann ja durchaus noch weitere Lösungen geben... |
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| 18.12.2009, 23:21 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Mystic «... vorausgesetzt a ist nicht Nullteiler.» Das habe ich vergessen anzumerken; du hast recht. Gäbe es nämlich für die Gleichung ax = a neben der Lösung e noch eine weitere Lösung u, dann wäre ae = a und au = a. Subtrahiert man die Gleichungen, so ist a(e-u) = 0. Da die Klammer nicht 0 ist, muss a Nullteiler sein. |
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