Reihenkonvergenz

13.12.2009, 17:26

thewho88

Reihenkonvergenz

Hallo allerseits!

Ich will die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j} \left( 1-\frac{1}{j} \right)^{j-1} = \sum_{j=1}^\infty \frac{(j-1)^{(j-1)}}{j^j} = 1+\frac{1}{2^2} + \frac{2^2}{3^3} + ... \end{eqnarray*}$ zeigen.

Probier nun schon stundenlang rum, aber ohne nennenswerten Erfolg. Die Konvergenzkriterien liefern keine Aussage, Majorante finde ich auch keine. Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank schonmal.

mfg

13.12.2009, 17:48

Explo

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Falls ich mich nicht vertue und grad was falsches annehme sollte es mit dem Wurzelkriterium zuzeigen sein

13.12.2009, 17:49

Tarnfara

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RE: Reihenkonvergenz

Zitat:

Original von thewho88
Hallo allerseits!

Ich will die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j} \left( 1-\frac{1}{j} \right)^{j-1} = \sum_{j=1}^\infty \frac{(j-1)^{(j-1)}}{j^j} = 1+\frac{1}{2^2} + \frac{2^2}{3^3} + ... \end{eqnarray*}$ zeigen.

Probier nun schon stundenlang rum, aber ohne nennenswerten Erfolg. Die Konvergenzkriterien liefern keine Aussage, Majorante finde ich auch keine. Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank schonmal.

mfg

Wenn ich nicht irgendwo nen gewaltigen Denkfehler habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{j} \left(1-\frac{1}{j}\right)^{j-1} =\frac{1}{j}\left(1-\frac{1}{j}\right)^j \frac{1}{1-\frac{1}{j}} = \frac{1}{j} \frac{1}{\frac{j-1}{j}}\left(\frac{j-1}{j}\right)^j= \frac{1}{j-1}\left(\frac{j-1}{j}\right)^j \end{eqnarray*}$

Riecht stark nach Wurzelkriterium ?!

13.12.2009, 17:53

thewho88

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Das war auch mein erster Gedanke. Aber diese Folge konvergiert ja von unten gegen 1. Also liefert das Wurzelkriterium keine Konvergenzaussage. So haben wir das zumindest in der ANA1-Vorlesung gelernt.

13.12.2009, 17:56

Explo

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Kann man beim Wurzelkriterium nicht auch die (j-1)'te Wurzel bilden?

13.12.2009, 17:59

thewho88

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Möglich, aber die Problematik wäre dadurch immer noch die selbe.

13.12.2009, 18:02

Tarnfara

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Zitat:

Original von thewho88
Das war auch mein erster Gedanke. Aber diese Folge konvergiert ja von unten gegen 1. Also liefert das Wurzelkriterium keine Konvergenzaussage. So haben wir das zumindest in der ANA1-Vorlesung gelernt.

Von wo aus die Folge konvergiert ist egal, wichtig ist nur, dass du eine Zahl findest, die echt kleiner als 1 ist, wo sie für fast alle n drunter bleibt.

Aber du hast Recht, ich weiß gar nicht, was $\begin{eqnarray*} \sqrt[j]{j-1} \end{eqnarray*}$ im Grenzwert so anstellt. Vorchnell geschossen, trotzdem noch viel Erfolg. smile

13.12.2009, 18:05

Explo

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RE: Reihenkonvergenz
Ich geh mal davon aus, dass man das machen kann

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j} \left( 1-\frac{1}{j} \right)^{j-1} \end{eqnarray*}$

Wurzelkriterium bringt darauf dann das

$\begin{eqnarray*} lim_{j \to \infty} \sqrt[j-1]{|\frac{1}{j} \left( 1-\frac{1}{j} \right)^{j-1}|} <1 \end{eqnarray*}$

und das kann man dann doch recht einfach auflösen oder?

Edit: ouh sry ich seh grad das ist ja auch 1 ... Sry =/

13.12.2009, 18:09

heinzelotto

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das ist zwar immer kleiner als 1, aber es kommt der 1 beliebig nahe. Deshalb ist das Wurzelkriterium hier nicht anwendbar.

13.12.2009, 18:26

sergej88

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edit.. ne mein fehler nat.

mfg.

13.12.2009, 18:28

bernd

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RE: Reihenkonvergenz
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{j})^{j-1} \end{eqnarray*}$ geht für $\begin{eqnarray*} j \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen 1/e, ist also für hinreichend großes j größer als 1/3. Deshalb ist ab einer bestimmten Stelle jeder Summand größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3j} \end{eqnarray*}$ , und damit ist die Reihe divergent.

13.12.2009, 19:07

thewho88

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Okay, danke für die Hilfe!

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