Rote und Blaue Spieler

13.12.2009, 18:11

Matheneuling123

Rote und Blaue Spieler

Gegeben seien 90 Spieler. 60 rote und 30 blaue. Jeder rote Spieler kontaktiert zufällig einen der 90 Spieler. Wie wahrscheinlich ist es, dass genau 20 blaue Spieler kontaktiert werden?

13.12.2009, 19:04

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Da nicht anzunehmen ist, dass sich ein Spieler selbst kontaktiert, sollte man vielleicht besser formulieren

Zitat:

Jeder rote Spieler kontaktiert zufällig einen der 89 anderen Spieler.

Ich sehe zunächst mal nur einen Weg über die Siebformel.

13.12.2009, 21:14

Matheneuling123

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Doch, ein Spieler darf sich auch selbst kontaktieren.

Wie könnte denn ein Weg über die Siebformel aussehen?

Ich hatte gerade noch eine andere Idee. Es genügt eine einigermaßen genaue Abschätzung dieser Wahrscheinlichkeit. Könnte man eventuell die Chernoff-Ungleichung anwenden? Aber wie müsste ich dann die Zufallsvariablen X_1, X_2, ... X_n definieren?

13.12.2009, 21:42

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Na Ok, dann kann er sich eben auch selbst kontaktieren. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Matheneuling123
Könnte man eventuell die Chernoff-Ungleichung anwenden?

Hab mich erstmal informiert, was das für eine Ungleichung ist. Es mir allerdings nicht begreiflich, wo du beim vorliegenden Problem einen Zusammenhang zu dieser Ungleichung siehst - aber ich lass mich gern erleuchten.

Zum Siebformelweg, das Problem zunächst etwas verallgemeinert:

Es gibt $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ rote und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ blaue Spieler, wo jeder rote Spieler zufällig einen der Spieler (inklusive evtl. sich selbst) kontaktiert. Gefragt wird nach der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(r,b,m) \end{eqnarray*}$ von genau $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kontaktierten blauen Spielern.

Wir definieren nun für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,b \end{eqnarray*}$ folgende Hilfsereignisse

$\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ ... der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te blaue Spieler wird von keinem roten Spieler kontaktiert

Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich

$\begin{eqnarray*} p(r,b,m) = \binom{b}{m} \cdot q(r,b,m) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q(r,b,m) = P\left( B_1^c\cap \ldots \cap B_m^c \cap B_{m+1} \cap \ldots \cap B_b \right) \end{eqnarray*}$ ,

wobei sich letzteres über die Siebformel bestimmen lässt:

$\begin{eqnarray*} q(r,b,m) = P\left( \left( B_1\cup \ldots \cup B_m\right)^c \cap B_{m+1} \cap \ldots \cap B_b \right) = \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} \left( \frac{r+m-k}{r+b} \right)^r \end{eqnarray*}$

Der vorliegende Fall betrifft also $\begin{eqnarray*} r=60,b=30,m=20 \end{eqnarray*}$ .

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