Ein Volumenintegral (Tetraeder)

13.12.2009, 18:15	Cpt. Challenger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Volumenintegral (Tetraeder) Hallo, ich habe heute meinen mehrdimensionalen Integrationstag^^ und sitz schon seit Stunden daran, Volumina von einfachen Körpern zu berechnen. Zum Beispiel habe ich mir ein Tetraeder mit den Eckpunkten A=(0,0,0), B=(3,0,0), C=(0,3,0) und D=(0,0,3) gezeichnet. Also kann man sich Grundfläche das rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem Inhalt 9/2 definieren. Die Höhe ist 3 und es müsste als Volumen $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \cdot A \cdot h = 9/2 \end{eqnarray}$ herauskommen. Ich habe also gerechnet: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{3} \int_{z}^{3-z} \int_{0}^{3-y} dx dy dz \end{eqnarray}$ Das ergibt Null. Das Problem liigt offenbar bei den beiden inneren Integralen. $\begin{eqnarray} \int _{z}^{3-z} \int_{0}^{3-y} dx = \int_{z}^{3-z} 3-y dy = \frac{9}{2} - 3z \end{eqnarray}$ Das müsste der Inhalt der Grundfläche (das Dreieck ABC) sein, nicht wahr? Für z=0 ist kommt der Flächeninhalt 9/2 raus, das stimmt ja auch. Für z=3 müsste die Fläche verschwinden, das ist ja die Spitze des Tetraeders, und da kommt bei mir -9/2 raus. Das erklärt auch warum das Volumen dann 0 wird, aber was mache ich falsch? Viele Grüße Robert
13.12.2009, 21:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen von Tetraeder berechnen mit sukzessiver Integration

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