Mengenlehre:Schnitt und Vereinigung

13.12.2009, 20:12

bretos1

Mengenlehre:Schnitt und Vereinigung

Hi,die Aufgabe ist sehr komplex.Also:
Gegeben seien die Mengen Ac={(x,y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^2 |x<=c<=y } für c $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .Geben Sie die folgenden Mengen an.Zum einen die Schnittmenge von Ac und zum anderen die Vereinigungsmenge von Ac (Unter den Zeichen steht immer ein c $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ).
Dann soll man noch die Menge Ac für ein c $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die Vereinigungsmenge Ac skizzieren.Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe ich gar nicht.Freue mich auf eure Hilfe.

14.12.2009, 07:53

Mazze

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Erstmal ordentlich aufschreiben :

$\begin{eqnarray*} A_c = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq c \leq y\} \end{eqnarray*}$

Dann suchst Du

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{c \in \mathbb{R}}A_c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{c \in \mathbb{R}}A_c \end{eqnarray*}$

Welche Ideen hast Du dazu?

Was das Zeichnen angeht, wähle dir irgend ein c und zeichne in ein kartesisches Koordinatensystem. c = 0 etwa ist einfach.

14.12.2009, 10:42

darbo47

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Ich bin gerade auch bei einer ähnlich formulierten Aufgabe.Komme dort auch nicht weiter,weil ich nicht weiß,was das alles mit einem Koordinatensystem zu tun haben könnte.

14.12.2009, 10:50

bretos1

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Das Problem ist,dass wir eine solche Aufgabe oder eine ähnliche in der Vorlesung nicht hatten,und deshalb weiß ich nicht was das mit dem Koordinatensystem zu tun haben könnte.

14.12.2009, 21:24

Mazze

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Du wirst doch wohl noch aus der Schule die Bezeichnung (x,y) für einen Punkt in der Ebene kennen. Dabei ist der Wert für x auf der x-Achse aufzutragen und y auf der y-Achse. Du musst dann halt alle die Punkte zeichnen die der Bedingung

$\begin{eqnarray*} x \leq c \leq y \end{eqnarray*}$

genügen. Das ergibt dann eine bestimmte Fläche. Mal als Beispiel , die Menge

$\begin{eqnarray*} \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq c^2\} \end{eqnarray*}$

Ist ein ausgefüllter Kreis mit Radius c. Abgesehn davon gibt dir das Bild für verschiedene c auch noch die Idee wie Vereinigung und Durchschnitt aussehen.

15.12.2009, 19:07

darbo47

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Na klar kenn ich noch die Bezeichnung (x,y).Ich versteh auch,was du geschreiben hast.Problem ist jetzt nur,was das mit dem Schnitt bzw.der Vereinigung von Ac zu tun hat.

15.12.2009, 19:09

Mazze

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Zeichne dir mal für ein Paar c die Menge auf. Dann bilde die entsprechenden Vereinigungs und Durchschnittsmengen, und zeichne dir diese auf. Dann siehst Du wie sich die Mengen "entwickeln".

15.12.2009, 21:49

darbo47

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klingt kompliziert,ich meine zumindest beim schnitt müsste die Leere Menge rauskommen.

15.12.2009, 21:53

darbo47

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wird nicht,je größer das c gewählt wird,auch die fläche größer?

15.12.2009, 22:03

Mazze

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Ja, der Schnitt ist leer. Das ist natürlich noch zu zeigen. Dazu zeigst Du das für es für alle

$\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} (x,y) \not \in \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq c \leq y\} \end{eqnarray*}$ . Warum folgt daraus das der Schnitt leer ist?

Die Vereinigung ist natürlich wesentlich interessanter Augenzwinkern

. Schon eine Idee?

Zitat:

wird nicht,je größer das c gewählt wird,auch die fläche größer?

Die Flächen sind alle unendlich groß. Es schwer da von "größer" zu sprechen, da sie ja auch keine echten Teilmengen sind.

15.12.2009, 22:21

darbo47

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Man kann zeigen, dass es es die Leere Menge ist,wenn man ein Gegenbeispiel angibt. Man verneint die Aussage und kann beispielsweise sagen: (x,y) sind nicht Element von Ay+1 weil y+1 ist ja nicht kleiner als y.
Und zur Vereinigung:{(x,y)|x<=y}?.ist mir wirklich zu aufwändig die ganzen Latex-Befehle zu verwenden.Das dauert ewig.

15.12.2009, 22:38

Mazze

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Zitat:

Das ist falsch. Damit zeigst Du nur das $\begin{eqnarray*} (x,y) \notin A_{y+1} \end{eqnarray*}$ , damit zeigst Du nicht das $\begin{eqnarray*} \bigcap_{c \in \mathbb{R}}A_c = \emptyset \end{eqnarray*}$

Diese Aussage hilft dir aber trotzdem für den Beweis. Wegen

$\begin{eqnarray*} (x,y) \notin A_{y+1} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (x,y) \notin \bigcap_{c \in \mathbb{R}}A_c \end{eqnarray*}$

warum ist das so?

Zitat:

Und zur Vereinigung:{(x,y)|x<=y}?

Ganz genau. Zeigen kannst Du es dadurch, dass Du zeigst das es für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \leq y \end{eqnarray*}$ ein reelles c gibt mit $\begin{eqnarray*} (x,y) \in A_c \end{eqnarray*}$ . Warum folgt daraus, das die Vereinigung so aussieht wie Du es beschrieben hast?

Zitat:

ist mir wirklich zu aufwändig die ganzen Latex-Befehle zu verwenden.Das dauert ewig.

Dir sollte klar sein das eine gute Lesbarkeit zum Verständis der Frage beiträgt. Wir als Helfer müssen schliesslich lesen können was euer Problem ist. Zudem gibts den Formeleditor der die gängsten Formeln und Symbole enthält. Man kann niemanden zwingen, dann ist aber peinlich genau auf Klammersetzung zu achten.

15.12.2009, 22:51

darbo47

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(x,y) nicht Element von Ay+1 => (x,y) nicht Element von Ac und somit auch nicht vom Schnitt von Ac.

und zur vereinigung würde ich sagen,dass du das schon beschreiben hast
(x,y)soll Element von R2 sein (x<=y) => (x,y) Element von Ac mit der Bedingung (x<=y).Anders kann ich es mir nicht erklären.Danke für deine Hilfe.

15.12.2009, 22:58

Mazze

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Zitat:

(x,y) nicht Element von Ay+1 => (x,y) nicht Element von Ac und somit auch nicht vom Schnitt von Ac.

Das verstehe ich nicht. Aber ich zeigs Dir mal. Wegen $\begin{eqnarray*} (x,y) \notin A_{y+1} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (x,y) \notin A_{y + 1} \cap A_c ~ \forall c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Damit also natürlich

$\begin{eqnarray*} (x,y) \notin \bigcap_{c \in \mathbb{R}}A_c \end{eqnarray*}$ . Diese Aussage gilt für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Daher kann Durchschnitt über alle A_c nur leer sein.

Zitat:

(x,y)soll Element von R2 sein (x<=y) => (x,y) Element von Ac mit der Bedingung (x<=y).

Sei $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \leq y \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ so ist natürlich $\begin{eqnarray*} (x,y) \in A_x \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \bigcup_{c \in \mathbb{R}}A_c \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} (x,y) \in A_{x + \frac{y - x}{2}} \end{eqnarray*}$ . Damit also auch $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \bigcup_{c \in \mathbb{R}}A_c \end{eqnarray*}$ . Damit gilt die Behauptung.

16.12.2009, 19:57

darbo47

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Ok,habs verstanden.Vielen Dank,Mazze.

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