Relationen |
13.12.2009, 20:15 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Relationen ich hab eine Hausaufgabe bekommen die ich auch nicht sonderlich schwer finde. Wollte meine ergebnisse nur einmal absichern da ich mir nicht wirklich sicher bin. Aufgabe: Es sei A = {a, b, c, d}. Man gebe - wenn moeglich - eine Rekation R (wobei R nicht leer sein darf) auf A an, die a) reflexiv, symmetrisch und nicht transitiv b) reflexiv, transitiv und nicht symmetrisch c) nicht reflexiv, nicht symmetrisch und nicht transitiv d) nicht reflexiv, symmetrisch und nicht transitiv (mit |R| = 7) e) eine Aequivalenzrelation und Ordnungsrelation ist. Als erstes eine Sache die mir nicht ganz klar ist. In meinen Loesungen habe ich ueberall nur a, b, c genommen. Ist doch auch okay oder ? Ne Relation ist ja nur ne Teilmenge von A x A oder ? Hier dann meine Loesungen: a) R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (b,c)} b) R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c), (a,c), (b, a)} c) R = {(a,b), (b,a), (b,c), (a,a)} d) R = {(a,b), (b,a), (a,a), (b,c), (c,b), (a,c), (c,a)} e) keine Ahnung bei e) ich dachte dass nur die leere menge symmetrisch und antisymmetrisch ist ? ne Aequivalenzrelation ist doch reflexiv, symmetrisch und transitiv und ne Ordnungsrelation ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Dann ist ne Relation die beides ist und nicht leer ist doch gar nicht moeglich oder ? Danke schonmal |
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14.12.2009, 07:02 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also zunächst einmal ist es schon mal gut das Du die Relationen expliziet angibst. Das schaft nicht jeder sofort , ist aber das einfachste! Deine Lösung zu a ist aber falsch, da zwar (b,c) drin ist , aber nicht (c,b), die Relation ist also nicht symmetrisch. Ausserdem fehlt das Paar (d,d). Reflexivität muss immer für alle Elemente der Grundmenge gelten. b) Hier fehlt wieder das Paar (d,d) für die Reflexivität. Fügst Du es hinzu ist deine b) richtig. Du hättest aber zum Beispiel das Paar (b,a) noch weg lassen können. c) Richtig. d) Richtig. e) Schau Dir mal das hier an : . Diese Relation ist auf {a,b} reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch! Bau das für deine Aufgabe weiter aus. |
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14.12.2009, 10:33 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hallo ... danke fuer die antwort ... also bei der reflexivitaet muessen alle elemente der grundmenge drin sein ?? ist das nur bei der reflexivitaet so? eine verstaendnisfrage. irreflexiv ist wenn gar kein element fuer das (a, a) gilt in der relation drin ist, nicht reflexiv wenn eins oder viele aber nicht alle. hab ich das richtig verstanden ? kannst du nochmal genau erklaeren warum (a, a), (b, b) transitiv bzw. symmetrisch ist ? und noch was ganz anderes ... ist zwar eine andere aufgabe geht aber letztendlich ums gleiche ... Aufgabe: Auf einer Menge Z sei eine Relation erklaert durch (x, y) element aus R <=> xy >= 0. Ist R eine Aequivalenzrelation? Falls ja so gebe man die zugehoerigen Klassen an. Die gleiche Aufgabe gibts nochmal aber mit Z \ {0} und xy > 0. Ehrlich gesagt weiss ich nicht was die da von mir wollen. was genau soll ich da testen um zu gucken ob das ne Aequivalenzrelation ist ? Und wie funzt das mit den Klassen ?? Besten Dank schonmal |
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14.12.2009, 21:19 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, sei M eine Menge, dann heisst die Relation reflexiv wenn gilt :
Genau. Der zweite Punkt liegt einfach an der richtigen Negierung des Allquantors. : wobei eine logische Aussage ist.
Im Normalfall rechnet man die 3 Eigenschaften nach. Allerdings ist die erste der beiden keine Äquivalenzrelation. Die Transitivität ist verletzt, und das liegt genau an der Null. Überlege dir mal ein leichtes Gegenbeispiel wo die Transitivität schief geht. Dann ist nämlich schon gezeigt das ersteres keine Äquivalenzrelation ist. Das Zweite ist dann aber eine. Ich zeige dir mal Beispielhaft die Reflexivität. Sei , dann ist zu zeigen dass gilt. Nach Definition der Relation R ist genau dann wenn gilt. Offensichtlich ist , daher ist R reflexiv. Symmetrie ist leicht. Für die Transitivität mach eine Fallunterscheidung bezüglich ngeativen/positivien Zahlen. Was die Äquivalenzklassen angeht, sei M eine Menge und R eine Äquivalenzrelation. Äquivalenzklassen sind auch nur Mengen, diese Werden aber für ein bezüglich der Relation R so geschrieben : . Wenn man weiß welche Relation gemeint ist , lässt man das R im Index auch weg. Eine Äquivalenzklasse eines Elementes x ist die Menge die alle zu x äquivalenten Elemente bezüglich R enthält. Beispielhaft für die Relation auf den ganzen Zahlen ohne Null : ist klar warum? |
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15.12.2009, 18:46 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hoi, ich war heut im tutorium und hab alles geblickt.. das erste ist keine ÄR weil die Tupel (-5, 0) und (0, 5) nicht transitiv sind. Macht alles sind. Und die Äquivalenzklassen sind einfach einmal die negativen und einmal die positiven Tupel.. Besten Dank fuer die Hilfe :-) |
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15.12.2009, 20:33 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nochmal zu der einen aufgabe c) R = {(a,b), (b,a), (b,c), (a,a)} das ist doch antitransitiv oder ?? soll aber nicht transitiv sein also muss doch eine transitive relation drin sein und mindestens eine die es verletzt oder ? |
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15.12.2009, 20:36 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein wieso? Sie soll nicht transitiv sein. Das ist äquivalent zu es gibt mindestens ein nicht transitives Paar. Wenn alle Paare nicht transitiv sind, dann ist auch mindestens ein Paar nicht transitiv , daher ist das kein Problem. Sie ist auf jeden Fall nicht transitiv. |
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15.12.2009, 20:39 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok leuchtet ein ... ne andere frage Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation koennen doch eigentlich nur Pinöpel mit Schlinge sein die in keiner Relation zueinander stehen oder ? Also wenn man sich die Relationen aufzeichnet ;-) |
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15.12.2009, 20:43 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab ehrlich gesagt Schwierigkeiten deine Frage zu verstehen |
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15.12.2009, 20:46 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich ne Menge M = {a, b, c, d} habe und eine Äquivalenz- und Ordnungsrelation will dann geht das doch nur wenn keines der Elemente mit einem anderen in Relation steht oder ?? Das meinte ich mit Pinöpel und Schlinge. Pro Element ein Punkt (wenn mans grafisch darstellt) und Schlinge halt ne Kante auf sich selbst (wenn reflexiv). Wuerde ich ne Kante zu einem anderen Element zeichnen waere doch sofort die Symmetrie bzw. Antisymmetrie verletzt oder >> Deshalb meine Frage ob quivalenz- und Ordnungsrelation nur moeglich ist wenn keines der Elemente in Verbindung mit einem anderen steht?? |
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15.12.2009, 20:51 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich musste erst mal bei Google eingeben was ein "Pinöpel" ist. Ein Ding von dem man zunächst nicht weiss wie es heisst. Andere sagen dazu Dingsbums etc. Mathematisch hätte man dazu wohl Knoten und Kante gesagt. Zur Frage : Sobald es ein Element mit gibt , kann die Relation entweder Symmetrisch, oder Antisymmetrisch, oder nichts von beiden sein, aber nicht mehr beides gleichzeitig. |
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15.12.2009, 20:59 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, warum ich frage ist weil ich hier noch ne knackige Aufgabe habe. Lautet: Es sei A = {a, b, c, d). Man gebe Relationen R, S auf A an, fuer die gile: R ist eine Aequivalenzrelation mit hoechstens 3 Aequivalenzklassen; S ist eine antisymmetrische Rleation mit |S| = 9 R vereinigt S ist sowohl Aequivalenz- als auch Ordnungsrelation. Irgendwie wird aus der Aufgabe nicht ersichtlich ob das 3 Teilaufgaben sind (wenn ja dann koennte ich das loesen) oder ob alle 3 Kriterien erfuellt sein sollen (wenn ja dann hÄÄÄÄÄÄÄÄ?) Falls ersteres zutrifft wuerde mir spontan folgendes einfallen R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (c, d)} (waeren ja 3 Klassen oder ?) S = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (c, d), (d, a), (b, d)} (sollte antisymmetrisch sein und 9 elemente sinds auch) fuer die letzte: kann ich nicht einfach R = S machen mit jewels nur den reflexiven Elementen und die beiden vereinigt muessten doch dann sowohl Aequivalenz- als auch Ordnungsrelation sein oder ?? edit: bzw. R = {(a, a), (b, b)} und S = {(c, c), (d, d)}. Vereinigt passt das doch dann oder ? Danke schonma :-) |
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15.12.2009, 21:18 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Aufgabe ist so gestellt das die Teile aus a) und b) in c) verwendet werden sollen. Und das gibt in der Tat zu denken. Zunächst soll es höchstens 3 Äquivalenklassen geben, sprich es muss mindestens ein Paar geben mit . Nehmen wir an wir haben diese Relation R. Und nehmen wir an wir haben die Relation S, wir betrachten nun die Vereinigungsmenge . Diese Menge soll jetzt symmetrisch und Antisymmetrisch sein. Wir betrachten wieder unser Paar (x,y) von oben, also . Da T Äquivalenzrelation sein soll ist also auch . Jetzt soll die Relation auch noch antisymmetrisch sein. Daher muss folgen x = y, und das ist nach obigem Argument falsch, da wir wissen das x und y echt verschieden sind. Vielleicht sieht ja jemand anderes das Problem! edit : Eine Frage , kann es sein das Du R geschnitten S und nicht R vereinigt S meinst? |
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15.12.2009, 22:46 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
shit ja ... das hufeisen ist nach unten auf :-D ... sorry .. ich guck mal eben ob ichs selbst hinkriege |
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15.12.2009, 22:48 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als Tip, wähle S und R so dass gilt. Das geht ! |
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15.12.2009, 22:53 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also wenn das so ist ist es ja recht easy .. es sei denn ich uebersehe etwas R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,c)} S = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (b,c), (c,d), (d,a), (b,d)} So. Damit hat R 3 Aequivalenzklassen, S ist antisymmetrisch und hat |S| = 9 und der Schnitt ist (a,a), (b,b), (c,c), (d,d) also Ordnungs- und Aequirelation .. kommt das hin ? |
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15.12.2009, 22:59 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
R ist nicht symmetrisch. Das Paar fügst Du noch hinzu, und dann ists ok. |
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15.12.2009, 23:01 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ach ja soll ja Aequivalenzrelation sein .. alles klar danke .. bist mein Held :-) |
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