Fehlerabschätzung bei verschobenen Integrationsgrenzen bei der multivariaten Normalverteilung

14.12.2009, 12:50

Ritmo83

Fehlerabschätzung bei verschobenen Integrationsgrenzen bei der multivariaten Normalverteilung

Hi, ich hätte da mal eine Frage und vielleicht kann mir da ja mal jemand helfen.

Angenommen, ich habe eine multivariate Normalverteilung

$\begin{eqnarray*} n(x) = \mathcal{N}(x, \mu,\Sigma) \end{eqnarray*}$

und ein Intervall $\begin{eqnarray*} I = [a,b] \end{eqnarray*}$ . Angenommen ich kann

$\begin{eqnarray*} g = \int_a^b \mathcal{N}(x, \mu,\Sigma) dx \end{eqnarray*}$

berechnen. Leider kann ich aber nicht

$\begin{eqnarray*} g_{\Delta \mu} = \int_a^b \mathcal{N}(x, \mu+\Delta \mu,\Sigma) dx \end{eqnarray*}$

berechnen (weil bestimmte Randbedingungen meiner Anwendung das nicht zulassen, ist aber jetzt auch egal). Dann müsste ja eigentlich erstmal gelten:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \mathcal{N}(x, \mu,\Sigma) dx = \int_{a+ \Delta \mu}^{b + \Delta \mu}\mathcal{N}(x, \mu+\Delta \mu,\Sigma) dx \end{eqnarray*}$

oder? Denn wenn ich die Normalverteilungskurve verschiebe und die Integrationsgrenzen ebenfalls in die gleiche Richtung verschiebe, dann dürfte sich ja nichts ändern, oder sehe ich da was falsch?

Gut, dann jetzt meine eigentliche Frage: Wenn ich also nur $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ berechnen kann und $\begin{eqnarray*} g_{\Delta \mu} \end{eqnarray*}$ nicht, kann ich denn dann irgendwie den Fehler abschätzen, den ich erhalte, wenn ich statt $\begin{eqnarray*} g_{\Delta \mu} \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zurückliefere? Der Fehler müsste meiner Meinung nach wohl irgendwie von $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta \mu \end{eqnarray*}$ abhängen.

Ich danke schon mal für die Antworten.

14.12.2009, 15:52

wisili

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RE: Fehlerabschätzung bei verschobenen Integrationsgrenzen bei der multivariaten Normalverteilung

Zitat:

Original von Ritmo83
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \mathcal{N}(x, \mu,\Sigma) dx = \int_{a+ \Delta \mu}^{b + \Delta \mu}\mathcal{N}(x, \mu+\Delta \mu,\Sigma) dx \end{eqnarray*}$

also auch
$\begin{eqnarray*} \int_{a - \Delta \mu}^{b - \Delta \mu}\mathcal{N}(x, \mu,\Sigma) dx =\int_a^b\mathcal{N}(x, \mu+\Delta \mu,\Sigma) dx \end{eqnarray*}$

Die linke Seite ist fehlerfrei, im Gegensatz zu g.

15.12.2009, 07:45

Ritmo83

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RE: Fehlerabschätzung bei verschobenen Integrationsgrenzen bei der multivariaten Normalverteilung

Zitat:

Original von wisili

also auch
$\begin{eqnarray*} \int_{a - \Delta \mu}^{b - \Delta \mu}\mathcal{N}(x, \mu,\Sigma) dx =\int_a^b\mathcal{N}(x, \mu+\Delta \mu,\Sigma) dx \end{eqnarray*}$

Die linke Seite ist fehlerfrei, im Gegensatz zu g.

Ja stimmt, diese Gleichung gilt natürlich auch. Das Problem ist bloß, dass es ja eine Funktion geben muss, die beschreibt, wie der Fehler wächst, je mehr ich meine Integrationsgrenzen verschiebe, ohne dabei auch meinen Erwartungswert zu verschieben, bzw. umgekehrt, je mehr ich meinen Erwartungswert verschiebe, ohne die Integrationsgrenzen zu verschieben. Ich habe das mal mit MATLAB empirisch ausprobiert und das sieht dann etwa so aus, wie im Bild, das ich mal angehängt habe.

Dort habe ich folgendes aufgetragen:

$\begin{eqnarray*} p = \int_{-0.68}^{0.68} \mathcal{N}(x,0,1) dx \\ s = \{-4.0, -3.9, -3.8, \ldots, 3.8, 3.9, 4.0\} \end{eqnarray*}$

Für alle Werte aus $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ habe ich dann
$\begin{eqnarray*} e_s = \int_{-0.68}^{0.68} \mathcal{N}(x,s,1) dx\\ d_s = p - e_s \end{eqnarray*}$

ausgerechnet. In der Grafik sind die Werte von $\begin{eqnarray*} d_s \end{eqnarray*}$ aufgetragen. Die x-Achse zeigt jeweils die Werte für $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .

Irgendwie sieht das Ding ja aus, wie eine umgedrehte Dichtekurve der Normalverteilung. Mich würde jetzt bloß interessieren, wie die zugehörige Funktion dazu aussieht und wie man diese Funktion ermittelt.

Danke schon mal für eure Hilfe.

15.12.2009, 14:18

wisili

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RE: Fehlerabschätzung bei verschobenen Integrationsgrenzen bei der multivariaten Normalverteilung
Was willst du mehr? Du hast den Fehler als Funktion geplottet.
Du hast demzufolge dem Plotprogramm eine klar definierte Funktion eingegeben.
Da die Normalverteilung (im Gegensatz zur Dichte) keine algebraisch ausgedrückte Funktionsgleichung besitzt
(das hat man beweisen können!) gilt das auch für die von dir gesuchte Fehlerfunktion.
Würde man für die standardisierte Normalverteilung (wie üblich) das Symbol $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$
verwenden, dannn könnte man deine Fehlerfunktion damit ausdrücken.

15.12.2009, 14:31

Ritmo83

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RE: Fehlerabschätzung bei verschobenen Integrationsgrenzen bei der multivariaten Normalverteilung
Ok nur damit ich das verstehe (bin kein Mathematiker), also man kann das nicht über einen algebraischen Ausdruck formulieren? Die Dichtefunktion der Normalverteilung kann man aber ja algebraisch ausdrücken. Ich dachte, dass das dann vielleicht auch mit meiner Fehlerfunktion geht.

Das was ich gemacht habe, um den Fehler abzuschätzen und im Plotter auszugeben war ja ganz einfach, dass ich einfach für beide Fälle (verschoben und nicht verschoben) das Integral berechnet habe und dann die Differenz geplottet habe. Aber genau das will ich ja gerade nicht. Ich will den Wert nur für die nicht verschobenen Integrationsgrenzen ausrechnen und anhand der Verschiebung (Differenz der beiden Mittelwerte) den Fehler abschätzen.

Und das geht nicht analytisch/algebraisch, richtig?

15.12.2009, 17:04

wisili

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RE: Fehlerabschätzung bei verschobenen Integrationsgrenzen bei der multivariaten Normalverteilung
Wie hast du die Integrale berechnet?
Früher hat man sie in Tabellen nachgeschaut.
Heute berechnet der Computer das Integral angenähert durch eine Riemannsche Summe (oder etwas Besseres),
aber sicher nicht exakt aufgrund einer mit endlich vielen Schritten berechenbaren algebraischen Formel.
Die Dichtefunktion kann man tatsächlich einfach aufschreiben.
Das Integral davon aber nicht!
Wenn du das Integral «von Hand» nicht schaffst (ich auch nicht), wieso erwartest du dann
dass man den Fehler «von Hand» berechnen kann? Er ist eben auch nur mit
Integralen ausdrückbar.

16.12.2009, 07:22

Ritmo83

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RE: Fehlerabschätzung bei verschobenen Integrationsgrenzen bei der multivariaten Normalverteilung
Ja, der Einwand ist gut ;-) Dann muss ich mir wohl was anderes überlegen, um den Fehler abzuschätzen.

PS: Ich habe MATLAB die Integrale ausrechnen lassen. Dort wird das irgendwie über eine Quadratmethode gemacht (Dimension < 4) oder über Monte Carlo (Dimension >= 4).

Danke noch mal für deine Hilfe.

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