Lineare Abbildung, Anfängerfrage

14.12.2009, 15:22

Natalie_1234

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Lineare Abbildung, Anfängerfrage

Hallöchen,

ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich muss folgende Abbildung auf Linearität überprüfen.

Abbildung

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \Rightarrow x*y \end{eqnarray*}$

Kriterien für Linearität
1. L(a*x) = a * L(x)
2. L (x+y) = L(x) + L(y)

Mein Problem ist, ich kann mit der Schreibweise nichts anfangen (also der von der vorgegebenen Abbildung). Könnte mir mal einer Erklären, wie ich das auf die Kriterien umschreibe?

Liebe Grüße, Natalai

14.12.2009, 15:26

Dunkit

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Hi!

Wenn ich deine Schreibweise richtig verstehe, heißt das nichts weiter, als dass das Paar reeller Zahlen (x,y) abgebildet wird auf die reelle Zahl x*y, also das Produkt der beiden Zahlen.

Eigentlich schreibt man das eher so:
$\begin{eqnarray*} L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \quad (x,y) \mapsto x \cdot y \end{eqnarray*}$

14.12.2009, 15:28

Natalie_1234

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Danke, aber
Hallo,
danke für deine zügige Antwort.
Nein auf dem Übungsblatt ist es so geschrieben, dass das erste quasi ein Vektor ist und das zweite scheinbar reelle Zahlen... deswegen bin ich ja auch zu doof, um es zu übertragen!

14.12.2009, 15:31

Dunkit

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Naja, ob man $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ schreibt oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist eigenltich egal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe oben (x,y) benutzt, weil es platzsparender ist... Meine Anmerkung bezog sich eigentlich mehr auf die Pfeile... Die, die du benutzt hast sind nämlich Implikationen und das macht hier tatsächlich keinen Sinn!

14.12.2009, 15:35

Natalie_1234

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Frage 2
Achso, ja das tut mir leid. Habe die anderen irgendwie nich gefunden. Meinte aber natürlich solche Pfeiele, wie diese anderen.

Aber ich versteh noch immer nicht, was/wie ich das jetzt aufzuschreiben habe...

Seid ihr so freundlich das mal für mich Schritt zu Schritt zu erklären, bitte?

14.12.2009, 15:36

Mulder

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RE: Frage 2

Zitat:

Original von Natalie_1234
Könnte mir mal einer Erklären, wie ich das auf die Kriterien umschreibe?

Einfach einsetzen. Die beiden Kriterien (Homogenität, Additivität) hast du ja schon genannt. Beispielsweise für die Homogenität musst du die Abbildung auf folgendes untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot L \left ( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right ) = L \left ( \alpha \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right ) \end{eqnarray*}$

Was nicht schwer fallen sollte...

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14.12.2009, 15:37

Natalie_1234

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Aha, danke, also untersuche ich beides mit dem ersten Teil, also dem Vektor.
Und wozu ist dann das Produkt x*y angegeben?! Also, was mache ich damit/muss ich da beachten?!?

14.12.2009, 15:37

El_Snyder

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Nimm dir zwei Vektoren, z.B. a = (a1, a2) und b = (b1, b2) und prüfe, ob L(a + b) = L(a) + L(b) ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dazu einfach jeweils die Komponenten addieren

14.12.2009, 15:41

Natalie_1234

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Versuch...
Also für das zweite Krtierium schreibe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} <br /> L \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \end{pmatrix} + L \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} = L \begin{pmatrix} x1+ x2 \\ y1+ y2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Oder wie? Aber ich raff das mit dem x*y immer noch nicht...

14.12.2009, 15:44

Mulder

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RE: Versuch...
Du hast irgendwie wohl die Abbildung nicht verstanden. Deine Abbildung bildet vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ab. Das heißt, die Abbildung macht aus dem Vektor eine Zahl, bestehend aus dem Produkt der Komponenten des Vektors aus der Ursprungsmenge. Mach es dir doch nicht so schwer. Eine simple Parabel $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ beispielsweise kannst du doch auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \, \, , \, \, x \rightarrow x^2 \end{eqnarray*}$

In deinem Fall stell dir deine Abbiildung so vor: $\begin{eqnarray*} f \left ( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right ) = x \cdot y \end{eqnarray*}$

14.12.2009, 15:47

Natalie_1234

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Aha
Ja Mulder, da hast du völlig recht... da hab ich grundlegend, was nicht gerafft. Also der erste Teil ist quasi immer das f(Inhalt) und der zweite Teil das y, wenn ich jetzt mal von einer Funktion f(x)=y ausgehe... richtig?!

So, um die Abbildung nun auf Linearität zu überprüfungen, setze ich da dennoch so an, wie ein Post zuvor?!

14.12.2009, 15:47

El_Snyder

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RE: Versuch...

Zitat:

Original von Natalie_1234
Also für das zweite Krtierium schreibe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} <br /> L \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \end{pmatrix} + L \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} = L \begin{pmatrix} x1+ x2 \\ y1+ y2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Oder wie?

Naja, so einfach hinschreiben kannst du das nicht, das ist eine der Bedingungen die erfüllt sein muss damit L linear ist, d.h. du musst zeigen, dass diese Gleichung wahr ist.

Zitat:

Original von Natalie_1234
Aber ich raff das mit dem x*y immer noch nicht...

x*y ist das Bild des Vektors (x, y). So ist deine Abbildung eben definiert. Also:

L(x,y) = x*y
L(a,b) = a*b etc.. L((x,y)+(a,b) = ?

14.12.2009, 15:51

Natalie_1234

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unglücklich

L(x,y) = x*y
L(a,b) = a*b

L (x,y) + L (a,b) = x*y + a*b =L((x,y)+(a,b))

Oder wie?!

14.12.2009, 15:56

El_Snyder

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Zitat:

Original von Natalie_1234
L (x,y) + L (a,b) = x*y + a*b =L((x,y)+(a,b))

Oder wie?!

Schreibe L((x,y)+(a,b)) doch mal (transponiert) aus und addiere die Komponenten auf. Dann kannst du das Bild leicht bestimmen und siehst ob gilt: L(x,y)+L(a,b) = L((x,y)+(a,b))

14.12.2009, 15:57

Natalie_1234

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Danke für deine Antwort, aber ich weiß leider nicht genau, was transponiert heißt und die Komponenten (als Vektor) habe ich in einem oberen Post ja qasi addiert. Das war ja auch nicht richtig *ratlos*

14.12.2009, 16:00

Mulder

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smile

Okay, vielleicht stiftet es nun auch zusätzlich Verwirrung, dass zwei Leute gleichzeitig dich mit Informationen zukleistert. Da El Snyder die ganze Zeit auf Additivität beharrt, und du nun auch damit begonnen hast, bleiben wir dabei. Vorab: Wir wissen nicht, ob die Abbildung überhaupt additiv ist. Das wollen wir ja untersuchen. Vielleicht ist sie es ja gar nicht. Mal schauen...

Wir nehmen uns zwei beliebige Elemente (Vektoren) des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, rechne mal aus (prinzipiell hast du in deinem letzten Beitrag ja wohl richtig gerechnet):

$\begin{eqnarray*} L \left ( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right ) + L \left ( \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right ) = ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L \left ( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\right ) \end{eqnarray*}$ = ?

Kommt bei beiden das gleiche raus? Ja? Dann ist L additiv. Nein? Dann ist L eben nicht additiv.

14.12.2009, 16:04

Natalie_1234

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Danlke für dein Bemühen. Stelle mich sicher wirklich etwas dämlich an, aber irgendwie muss ich es ja begreifen. traurig

traurig

Bei dem, was du mir aufgeschrieben hasat, schreibe ich das jetzt quasi um?! Also so:

$\begin{eqnarray*} L \left ( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right ) + L \left ( \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right ) = x1*y1 + x2*y2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L \left ( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\right ) \end{eqnarray*}$ = x1*y1 + x2*y2

-> d.h. es kommt bei beidem dasselbe raus und es ist additiv?!

14.12.2009, 16:11

El_Snyder

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Du sollst die Zahlenpaare (x,y) und (a,b) einfach als Vektoren aufschreiben, dann erkennst du vllt besser was gemeint ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also:

$\begin{eqnarray*} L(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}) = L(\begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix} = ? \end{eqnarray*}$

14.12.2009, 16:11

Mulder

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Anfangs lässt man sich da manchmal verwirren, aber wenn man die Schreibweisen erstmal verstanden hat, wird es einfacher. Denn rein mathematisch steckt da eigentlich wirklich nicht viel hinter. smile

smile

Zitat:

Original von Natalie_1234
$\begin{eqnarray*} L \left ( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right ) + L \left ( \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right ) = x1*y1 + x2*y2 \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal richtig gerechnet. Freude

Freude

Zitat:

Original von Natalie_1234
$\begin{eqnarray*} L \left ( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\right ) \end{eqnarray*}$ = x1*y1 + x2*y2

Hier leider nicht. Du musst erstmal die beiden Vektoren addieren und dann L auf den resultieren Vektor anwenden. Also so:

$\begin{eqnarray*} L \left ( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\right ) = L \left ( \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix} \right ) = ? \end{eqnarray*}$

Das ist ja gerade der Unterschied: Beim oberen wendest du L auf die beiden einzelnen Vektoren an und addierst die beiden resultierenden Terme. Beim unteren addierst du erst die beiden Vektoren und wendest dann L drauf an. Das kann mitunter eben unterschiedliche Ergebnisse liefern.

14.12.2009, 16:14

Natalie_1234

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anderes Kriterium
Wäre es dann bei dem anderen Kriterium quasi:

$\begin{eqnarray*} <br /> a\cdot L \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = a\cdot \left(x\cdot y\right) = axy<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <br /> L \left(a\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right) = L \begin{pmatrix} a\cdot x_1 \\ a\cdot y_1 \end{pmatrix} = a\cdot x\cdot a\cdot y = a^{2} \cdot x\cdot y<br /> \end{eqnarray*}$

14.12.2009, 16:15

Mulder

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RE: anderes Kriterium
Genau! smile

smile

Und das folgt daraus nun?

14.12.2009, 16:17

Natalie_1234

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Ich hoffe ich habe es jetzt zur Additivität:

Das erste hab ich ja quasi richtig gemacht. Und beim zweiten ergibt es nicht dasselbe, sondern quasi (x+a)*(y+b) und das ausgeklammert ist ja dann nich xy*ab... richtig?!

14.12.2009, 16:19

Natalie_1234

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@ Mulder:

Daraus folgt, dass die Abbildung NICHT linear ist... richtig?!

Und das habe ich auch wirklich richtig gemacht/aufgeschrieben?

14.12.2009, 16:25

Mulder

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Bei der Homogenität ist es so okay, da hast du ja eine Ungleichheit gezeigt. Da schreibst du eben noch drunter, dass es ungleich ist und bist fertig. Bei der Additivität hast du es jetzt natürölich nur sehr oberflächlich formuliert in deinem letzten Beitrag. Du meinst das richtige, aber auf deinem Übrungstettel musst du das natürlich etwas sauberer und ausführlicher hinschreiben.

Aber: Da eine lineare Abbildung additiv UND homogen sein muss, reicht es natürlich, wenn eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt sind. Wenn du gezeigt hast, dass die Abbildung nicht homogen ist, kannst du dir die Untersuchung der Additivität danach auch theoretisch sparen. Aus Übungszwecken kann es aber natürlich nie schaden, beide Kriterien zu untersuchen. Für die aufgabenstellung genügt aber im Grunde eines der beiden Kriterien schon. Wenn sie linear wäre, müsstest du zeigen, dass sowohl Additivität, als auch Homogenität gilt. Aber wenn du eines der beiden widerlegen kannst... wen interessiert dann noch das andere? Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.12.2009, 16:28

Natalie_1234

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Danke
Wegen Additivität: Da schreibe ich natürlich auch hin, dass xy+av ungleich xy+xb+ay+by ist.
Dann ist es doch okay so alles oder?!

Ich danke euch enorm viel mals!!! Gott

Gott

Darf ich ggf. eine zweite Abbildung auch gleich hier posten, um zu schauen, ob ich das jetzt richtig kapiert habe?!

14.12.2009, 16:29

Mulder

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RE: Danke

Zitat:

Original von Natalie_1234
Darf ich ggf. eine zweite Abbildung auch gleich hier posten, um zu schauen, ob ich das jetzt richtig kapiert habe?!

Nur zu.

smile

Aber ich denke, jetzt hast du es verstanden und dann sollten dir weitere Aufgaben dieser Art nicht mehr viele Schwierigkeiten bereiten.

14.12.2009, 16:39

Natalie_1234

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Übung kann nicht schaden
Freude

Freude

Na dann probier ich mich doch gleich mit der zweiten:

Die Abbildung lautet: L(x)=ax+b

Additivität
$\begin{eqnarray*} <br /> L\left(x_{1} \right) + L\left(x_{2} \right)= a\cdot x_{1} + b + a\cdot x_{2} + b <br /> \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> L\left(x_{1}+ x_{2} \right)= a\cdot x_{1} + b + a\cdot x_{2} + b <br /> \end{eqnarray*}$
Also additiv.

Homogenität
$\begin{eqnarray*} <br /> L(c\cdot x)= c\cdot \left(ax+b\right)= cax+ cb<br /> \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> c\cdot L\left(x\right) = c(ax+b)= cax+cb<br /> \end{eqnarray*}$
Oder? War mir hier nicht ganz so sicher beim ersten... Also ob das c nicht nur zum x gezogen wird.

Also insgesamt LINEAR

14.12.2009, 16:41

Natalie_1234

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Also ich meinte eben, da wo ich mir unsicher war, ob es nicht eigentlich (c*ax+b) und somit cax+b ist.

14.12.2009, 16:46

Natalie_1234

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Dritte Abbildung
Hallo,

wirklich sehr sehr sehr freundlichst, dass ihr hier so schnell und nett helft Big Laugh

Big Laugh

Ich habe nun noch eine dritte und damit letzte Abbildung, bei der ich mir mit der Vorschrift erneut nicht sicher bin.

Es wird von R[x] nach R[x] abgebildet mit: f -> f'' (zweite Ableitung so wie ich das seh).
Wie schreib ich das jetzt auf? So:

f(x)=f''(x), also L (f(x)) und dafür setz ich dann f''(x) ein?!

14.12.2009, 16:49

Mulder

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RE: Übung kann nicht schaden

Zitat:

Original von Natalie_1234
$\begin{eqnarray*} <br /> L\left(x_{1} \right) + L\left(x_{2} \right)= a\cdot x_{1} + b + a\cdot x_{2} + b <br /> \end{eqnarray*}$

Einverstanden.

Zitat:

Original von Natalie_1234
$\begin{eqnarray*} L\left(x_{1}+ x_{2} \right)= a\cdot x_{1} + b + a\cdot x_{2} + b \end{eqnarray*}$

unglücklich

Einfach erstmal einsetzen:

$\begin{eqnarray*} L(x_1+x_2) = a(x_1+x_2)+b \end{eqnarray*}$

Bei der Homogenität ist dir ebenfalls ein Fehler unterlaufen.

14.12.2009, 16:52

Natalie_1234

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Danke...
$\begin{eqnarray*} L(x_1+x_2) = a(x_1+x_2)+b \end{eqnarray*}$

Achso... na dann ist es aber auch keine lineare Abbildung, da
axy+b + ax2+b ungleich axy + ax2 + b ist...

Wo hakts denn bei dem anderen?

14.12.2009, 16:54

Natalie_1234

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Abbildung
Meintest du das, was ich schon festgestellt hatte:

Zitat:

Also ich meinte eben, da wo ich mir unsicher war, ob es nicht eigentlich (c*ax+b) und somit cax+b ist.

14.12.2009, 16:56

Mulder

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RE: Abbildung

Zitat:

Original von Natalie_1234
$\begin{eqnarray*} L(c\cdot x)= c\cdot \left(ax+b\right) \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. Dein Fehler ist ähnlich wie bei der Additivität: Du setzt falsch ein.

14.12.2009, 16:59

Natalie_1234

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Also, bei c * L(x) hat es ja gestimmt.

Und bei L(c*x) muss ich doch das c mit zum x ziehen, oider?!
Also: a*c*x + b oder nicht?!

14.12.2009, 17:03

Mulder

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Zitat:

Original von Natalie_1234
Also: a*c*x + b oder nicht?!

Ja.

14.12.2009, 17:05

Natalie_1234

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Augenzwinkern

Also doch alles richtig gemacht und diese Abbildung als NICHT Linear identifiziert.

Könntest du mir zum Abschluss des Tages bitte noch bei meiner dritten Abbildung (siehe vorherige Posts) helfen?!

Danke!!!

14.12.2009, 17:30

Natalie_1234

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Abbildung 3
Hallöchen,

hier noch einmal diese dritte Abbildung:

Es wird von R[x] nach R[x] abgebildet mit: f -> f'' (zweite Ableitung so wie ich das seh).
Wie schreib ich das jetzt auf? So:

f(x)=f''(x)=f((n-1)*x^n-2), also

L (f(x)) und dafür setz ich dann f''(x) ein?!

14.12.2009, 19:29

Natalie_1234

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Hochschieb
Hey,

was ist denn nun los? Den ganzen nachmittag großartige Hilfe und nun kein Wort mehr zu lesen traurig

traurig

Bin doch hilflos ohne euch...

Also nochmals:
$\begin{eqnarray*} <br /> \mathbb R -> \mathbb R , f -> f''<br /> \end{eqnarray*}$

ICh denke, man schreibt nur
L (f(x)).
D.h. für die Überprüfung:

L (f(x1)) + L (f(x2)) = L (f(x1+x2))
-> (n-1)*x1^n-2 + (n-1)*x2^n-2 ungleich (n-1)*(x1+x2)^n-2
Oder we? Ich komm mit der zweiten Ableitung da nicht klar...

14.12.2009, 20:31

Mulder

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Also, zunächst mal solltest du nicht so drängeln. Ich persönlich hatte diese dritten Aufgabe auch übersehen. Und ehrlich gesagt bin ich mir da nun auch etwas unsicher, wie man es angehen muss (rein formal). Aber wenn sonst keiner mag, kann ich ja den ein oder anderen Gedanken dazu abgeben (ohne Anspruch auf Richtigkeit dieses Mal):

Seien also $\begin{eqnarray*} f,g \in \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} f = \sum\limits_{i} a_i x^i \, \, , \, \, g = \sum\limits_{i} b_i x^i \end{eqnarray*}$

Dann ist die Abbildung L gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} L: \mathbb R[X] \to \mathbb R[X] \, \, , \, \, L(f) = f'' \end{eqnarray*}$

Zu untersuchen ist also:

$\begin{eqnarray*} i) \, \, L(f) + L(g) = L(f+g) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ii) \, \, \alpha L(f) = L(\alpha f) \, \, \, , \, \, \alpha \in K \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung eines solchen Polynoms $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ja dann gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f' = \sum\limits_{i} ia_ix^{i-1} \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich ja recht bequem rechnen. Die zweite Ableitung kann man auf die gleiche Art und Weise konstruieren.Wobei die Indexverschiebung zu bedenken ist, aber die gibt hier nicht den Ausschlag. Und es ist auch insofern etwas blöd, als dass f und g ja, wenn deine Angaben vollständig sind, nicht vom gleichen Grad sein müssen. Oder steht irgendwo in der Aufgabenstellung noch dabei, dass nur Polynome von festem Grad d betrachtet werden sollen?

14.12.2009, 21:03

Natalie_1234

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Danlke für die Antwort Big Laugh

Big Laugh

Das x ist aber ein Kleines, das weißt du ja?!
Wieso gehst du da quasi über zwei Funktionen?

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