Körpererweiterung Grad 2

14.12.2009, 15:10	problemchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung Grad 2 Hi, wir haben einen Beweis aufgeschrieben, dessen Folgerung ich leider nicht sehe: Sei $\begin{eqnarray} L\|K \end{eqnarray}$ eine Körpererweiterung vom Grad 2 und $\begin{eqnarray} 1+1 \neq 0 \end{eqnarray}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} a \in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L=K[\sqrt{a}] \end{eqnarray}$ . Im Beweis haben wir ein $\begin{eqnarray} \alpha \in L \setminus K \end{eqnarray}$ angenommen. Wegen $\begin{eqnarray} [K[\alpha]:K] > 1 \end{eqnarray}$ gilt natürlich $\begin{eqnarray} L=K[\alpha] \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} f(X) = X^2 + pX + q \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ über K. Setze $\begin{eqnarray} \beta :=\alpha + \frac{p}{2} \end{eqnarray}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray} L = K[\alpha] = K[\beta] \end{eqnarray}$ . Die Behauptung soll nun folgen aus: $\begin{eqnarray} 0 = \alpha^2 + p \alpha + q = (\beta - \frac{p}{2})^2 + p(\beta - \frac{p}{2}) + q = \beta^2 - (\frac{p^2}{4} - q) \end{eqnarray}$ Sorry, falls die Frage dumm ist, aber kanns mir trotzdem kurz jemand erklären?
14.12.2009, 16:04	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körpererweiterung Grad 2 Was in aller Welt gibt's da zu erklären? $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist die Nullstelle eines irredziblen Polynoms $\begin{eqnarray} x^2+px+q \in K[x] \end{eqnarray}$ und statt $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ kannst natürlich auch $\begin{eqnarray} \beta=\sqrt {\frac{p^2}4 -q} \end{eqnarray}$ adjungieren, denn es ist ja $\begin{eqnarray} \alpha = -\frac p2 +\beta \end{eqnarray}$ d.h., $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ unterscheiden sich nur um einen additive Konstante aus K...Das alles ist hier im Detail und wie ich finde etwas umständlich ausgerechnet...

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