Stetigkeit von Funktionen im Bereich der komplexen Zahlen

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14.12.2009, 17:30	eightball	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Funktionen im Bereich der komplexen Zahlen Hallo zusammen, ich muss für die Uni für ein paar Funktionen zeigen, ob sie stetig sind oder nicht. unter anderem: f: C->C a) f(z) = 12z b) f(z) = z² c) f(z) = \|z-i\| So jetzt meine erste Frage, funktioniert das in C genauso wie in R ? Ich soll das Epsilon - Delta Kriterium verwenden! Wenn es genau so funktioniert, ich habe mit f(z) = 12z bereits begonnen. Bisheriger Stand: $\begin{eqnarray} \|12z - 12z_0\| = 12 \|z-z_0\| < \delta \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} \|z-z_o\| < \frac{\epsilon}{12} \end{eqnarray}$ -> Abhängigkeit zw. Epsilon und Delta existiert, also ist die Funktion stetig. Ist das korrekt so? MfG eightball
14.12.2009, 17:33	bernd	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit von Funktionen im Bereich der komplexen Zahlen stimmt
14.12.2009, 18:57	eightball	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also ich habe mit f(z) = z² weiter gemacht. Es hackt an folgender Stelle: $\begin{eqnarray} \|z² - z_0²\| = \|z-z_0\|\|z+z_0\| < \delta \|z+z_0\| \end{eqnarray}$ Wie gehts jetzt weiter ? Da ist $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ja immer noch von x abhänging und das darf es ja soweit ich weiß nich sein!
14.12.2009, 19:11	bernd	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ist aber $\begin{eqnarray} \|z+z_0\| \le \|z\| + \|z_0\| \end{eqnarray}$ , und man kann ausnutzen, dass z nahe bei $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ sein soll.
14.12.2009, 20:10	eightball	Auf diesen Beitrag antworten »
also gehts weiter mit $\begin{eqnarray} ... < \delta \|z+z_0\| \leq \delta (\|z\| + \|z_0\|) = \delta ( \|z\|-\|z_0\|+\|z_0\|+\|z_0\|) < \delta ( \delta +2\|z_0\|) \end{eqnarray}$ und das bringt mir was ? ^^
14.12.2009, 21:15	eightball	Auf diesen Beitrag antworten »
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15.12.2009, 00:33	eightball	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also bin noch einen schritt weiter: $\begin{eqnarray} ... < \delta ( \delta + 2\|z_0\|)< \epsilon \end{eqnarray}$ Aber wie löse ich diese ungleichung nach $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ auf (2 Variablen und quadratisch...) bzw. muss ich das überhaupt ?
15.12.2009, 10:10	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du einen formalen Beweis schreiben willst, dann sieht der so aus: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_0\in\mathbb C \end{eqnarray}$ fest. Wähle dann $\begin{eqnarray} \delta=... \end{eqnarray}$ (). Für alle $\begin{eqnarray} z\in\mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|z-z_0\|<\delta \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} \|f(z)-f(z_0)\|\leq...<\epsilon \end{eqnarray}$ . Um das zu tun musst du bei () natürlich was schreiben und dann musst du $\begin{eqnarray} \delta(\delta+2\|z_0\|)=\epsilon \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ auflösen und die kleinste positive Lösung in () schreiben. Wenn du nur bischen begründen sollst, dass es stetig ist, dann reicht was du gemacht hast indem du dann sagst, dass man für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ schliesslich $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ genügend klein wählt gerade so, dass am Ende $\begin{eqnarray} \|f(z)-f(z_0)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ [das heisst du gibst nicht explizit ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray*}$ an, sondern begründest bloss, wieso man es finden kann].
16.12.2009, 19:18	paull	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, ich denke ich habs so in etwas hingekriegt - danke deiner hilfe mal schauen was draus wird lg paull

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