Wechsel des Koordinatensystems

14.12.2009, 20:06

johny8891

Wechsel des Koordinatensystems

Hallo,

komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:

Ein Koordinatensystem (KS) K' (x',y') hat gegenüber dem KS K (x,y) einen um vektorV (2/4) verschobenen Ursprung (Darstellung im KS K) und ist um den Winkel fi=-pi/6 verdreht.

A: Berechnen Sie die Abbildung, mit der sich die entsprechenden Gebilde (Ursprung, Koordinatenachsen) aufeinander abbilden lassen.

Ich weis einfach nicht wie ich das anstellen soll. Habe rumprobiert es kommen allerdings wirre Sachen raus.

Bitte helft mir!

Danke.

MfG johny

14.12.2009, 20:08

tigerbine

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RE: Wechsel des Koordinatensystems
Zerlege das Problem doch mal in 2 Schritte. Wie verschiebt man denn den Ursprung. Kannst du dir ja mal 2D mit einem Beispiel verdeutlichen. Wie ändern sich die Koordinaten der Punkte?

14.12.2009, 22:32

johny8891

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RE: Wechsel des Koordinatensystems
Ok.

Verschiebung:

K' = (x',y') = [(x-2),(y-4)] = (-2,-4)

oder?

14.12.2009, 23:13

tigerbine

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RE: Wechsel des Koordinatensystems

Zitat:

Ein Koordinatensystem (KS) K' (x',y') hat gegenüber dem KS K (x,y) einen um vektorV (2/4) verschobenen Ursprung (Darstellung im KS K)

Wir nehmen uns ein kariertes Blatt. Jeder Schnittpunkt symbolisiere einen Vektor.

=> Wir zeichnen ein karthesisches Koordinatensystem ein (D.h. wir haben den Vektorraum mit einer Basis versehen, Standardeinheitsvektoren E: e1=(1,0), e2=(0,1)

=> Wir können nun jedem Vektor Koordinaten bzgl. E geben.

=> Wir markieren den Vektor V(2,4)_E.

=> Der soll neuer Ursprung sein, wir wollen weiterhin eine ONB haben. Wir nennen sie B.

=> Parallelverschieben der alten Vektoren. Das macht die neuen Basisvektoren b1=(3,4)_E = (1,0)_B, b_2=(2,4)_E = (0,1)_B

Welche Abbildung leistet uns nun den Dienst, dass wir einen Vektor in Darstellung von E eingeben und den gleichen Vektor nur in der Darstellung von B erhalten? Eine

$\begin{eqnarray*} v_B=Id(v_E) - (2,4) \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen wir das Koordinatensystem noch drehen. Da brauchen wir eine Drehmatix.

Zitat:

... und ist um den Winkel fi=-pi/6=-30° verdreht.

$\begin{eqnarray*} R^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -0.5 \\ 0.5 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und rechnen dann noch

$\begin{eqnarray*} R^{-1}v_B \end{eqnarray*}$

15.12.2009, 19:07

johny8891

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Wie schaut den das Id(Ve) ausgeschrieben aus ?

Irgendwie komme ich mit den ganzen b's, Einheitsvektoren und den Bodenstrichen nicht klar!

Im Prinzip hab ich es verstanden, hänge aber bei diesem Id(Ve) fest und komme nicht weiter.

Schon mal Danke!

MfG johny

15.12.2009, 19:18

tigerbine

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Du kannst es nicht verstanden haben, wenn dir die "Bodenstriche" Probleme machen. Wenn ich einem Vektor (Element eines VR) durch einen Koordinatenvektor ausdrücken will, muss ich mich immer fragen: Bezüglich welcher Basis. Die steht dann im Index.

id ist einfach die Identität als Abbildung.

16.12.2009, 17:03

johny8891

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jetzt versteh ich garnichts mehr

16.12.2009, 21:45

tigerbine

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Dann stelle eine konkrete Rückfrage. Augenzwinkern

17.12.2009, 18:18

johny8891

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OK.

Ich hätte wie folgt gerechnet:

1) Verschieben:

Kvektor_neu = Xvektor_alt - Vvekktor

2) Drehen:

Xvektor_neu' = R^-1 * Xvektor_neu

3) Zurückschieben:

K'vektor = R^-1 * Xvektor_neu + Vvektor = R^-1*(Xvektor - Vvektor) + Vvektor

= R^-1*Xvektor - R^-1*Vvektor + Vvektor

Wo liegt jetzt mein Fehler?

Wozu ich jetzt die Einheitsvektoren Brauche ist mir ein Rätsel.

Danke!

MfG J.

17.12.2009, 20:03

tigerbine

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Was meinst du mit zurückschieben?

Die Einheitsvektoren brauche ich doch, denn sie machen ein Koordinatensystem aus. Zeichnerisch ist uns auch klar, was zu tun ist. Wenn wir nun aber Vektoren benennen mit Koordonaten, muss das immer bzgl. einer Basis sein.

1. Basis: Standardeinehitsvektoren (1,0), (0,1) mit Ursprung also (0,0)

Blickwinkel 1
Wir bezeichnen im folgenden alle Vektoren bzgl. dieser Basis E. Als erstes verschieben wir den Ursprung:

(0,0)_E -> (2,4)_E

(1,0)_E -> (3,4)_E

(0,1)_E -> (2,5)_E

F1(v_E) = v_E + (2,4)_E

Blickwinkel 2

Wir wollen den Elementen des VR nun neue Koordinaten zuweisen. D.h. wir benennen nun alle Punkte in Bezug auf das Koordinatensystem mit dem verschobenen URsprung (Basis B). Dann gilt

(2,4)_E -> (0,0)_B

(3,4)_E -> (1,0)_B

(2,5)_E -> (0,1)_B

F1(v_E) = v_E-(2,4)_E = v_B

Soweit klar?

17.12.2009, 22:28

johny8891

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Ich komme einfach nicht drauf wie jetzt das v_E ausgeschrieben ausschaut ( etwa (1,1) nein, oder?

Ich weis nicht wie ich die ganzen (x,x)_E's unter einen Hut bringen soll? traurig

Das mit der Basis ist mir jetzt klar geworden, dass der Punkt (2,4) jetzt halt der Nullpunkt vom neuen KS ist.

17.12.2009, 22:30

tigerbine

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v_E sollte einfach nur bedeuten. Vektor v des VR mit Koordinaten bzgl. Basis E. Damit ist kein spezieller Vektor gemeint.

17.12.2009, 22:34

johny8891

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aah! ok.

aber wieso addiere ich in der Basis E (2,4) und in der Basis B subtrahiere ich (2,4) wieder vom v_E?

Müsste es nicht so ausschuen?

F1(v_B) = [v_E + (2,4)] - (2,4)

17.12.2009, 22:36

tigerbine

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Dann würde ja gelten v_b=v_E. Da die Koordinatensysteme verschieden sind, ist dem wohl nicht so.

Am besten wirklich mal nen Karblock raus. Die Schnittpunkte sind die v (ohne Index!) einfach als Elemente des VR betrachtet. Nun kann man an so einen Schnittpunkt Koordinaten hinschreiben. Bzgl. E und bzgl. B. Die sind aber unterschiedlich.

Kannst du das nachvollziehen?

17.12.2009, 22:39

johny8891

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ja. das mit dem zeichnen ist mir soweit klar aber ich soll es ja rechnen.

muss ich dann

R^-1*v_E-(2,4)_E rechnen?

zu dem multipliziere ich doch zum v_E-(2,4) eine Drehmatrix und von dem produkt subtrahiere ich wieder was weg - dann kann es doch nicht mehr heisen v_e = v_B

F1(v_E) = [v_E + (2,4)] - (2,4)

so ist es richtig?

17.12.2009, 22:47

tigerbine

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Wir sind noch beim ersten SChritt. Dem Verschieben des urpsungs. Sind da die beiden Varienten/Sichtweisen nun klar?

Blickwinkel 1
Wir bezeichnen im folgenden alle Vektoren bzgl. dieser Basis E. Als erstes verschieben wir den Ursprung.
F1(v_E) = v_E + (2,4)_E

Blickwinkel 2
Wir wollen den Elementen des VR nun neue Koordinaten zuweisen. D.h. wir benennen nun alle Punkte in Bezug auf das Koordinatensystem mit dem verschobenen URsprung (Basis B).
F1(v_E) = v_E-(2,4)_E = v_B

Zur Drehmatrix werde ich erst morgen was schreiben können. Für mich ist nun Feierabend. Schläfer

18.12.2009, 17:42

johny8891

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OK soweit nun alles klar!

Nun zur drehmatrix.

18.12.2009, 17:49

tigerbine

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Bleiben wir erstmal bei dem alten Ursprung (0,0). Nun haben wir wieder 2 Möglichkeiten.

1. Wir drehen jeden Vektor (gegen den Uhrzeigersinn) um (-30°)

2. Wir drehen das Koordinatensystem um -30°

Wie das geht, steht in dem Wikilink. Kannst du das nachvollziehen?

Ich bin erst gegen 20.00 hier wieder in der Dienststelle.

18.12.2009, 18:18

johny8891

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ja bis hier schon.

ich habe ein blatt vom prof. bekommen wo draufsteht.

Drehung von koordinaten systemen:

(x,y) normales KS

(x',y') gedrehtes KS

(x,y) = D(fi)*(x',y') --> ist doch komisch oder?

D(fi) = (cos fi, -sin fi / sin fi, cos fi)

Umkehrung:

D(fi)^-1 = D(fi)^T = D(-fi)

Umkehrung der Koordinaten transformation:

(x',y') = D(-fi)*(x,y)

Laut wiki stimmt aber dann das Blatt nicht den dort steht

(x',y') = D(fi)*(x,y) und das ist doch unglei dem was auf dem blatt steht:

(x',y') = D(-fi)*(x,y)

Also bisher ist mir nun alles klar (denk ich zumindest verwirrt

)

18.12.2009, 20:14

tigerbine

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Fall 1:

Ich möchte die beiden Einheitsvektoren (1,0)^T, (0,1)^T um (-30°) drehen. Dann muss rauskommen (cos(30°), -sin(30°))^T, (sin(30°), cos(30°))^T (Zeichnung!)

Wie kann ich das mit einer Drehmatrix machen? Nehme die Matrix

$\begin{eqnarray*} R = \begin{pmatrix} \cos (-30°) & -\sin (-30°) \\ \sin (-30°) & \cos (-30°) \end{pmatrix}_E^E \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} Re_1 = \begin{pmatrix} \cos (-30°) \\ \sin (-30°)\end{pmatrix}_E = \begin{pmatrix} \cos (30°) \\ -\sin (30°)\end{pmatrix}_E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Re_2 = \begin{pmatrix} -\sin (-30°) \\ \cos (-30°) \end{pmatrix}_E = \begin{pmatrix} \sin (30°) \\ \cos(30°)\end{pmatrix}_E \end{eqnarray*}$

Alles in Koordinaten bzgl. E.

Nun möchte ich die Koordinaten der Vektoren bzgl. E in die gedrehte Basis B umrechnen lassen. Wie geht das nun? Nehmen wir uns wieder Beispiele:

(cos(30°), -sin(30°))^T_E -> (1,0)^T_B
(sin(30°), cos(30°))^T_E -> (0,1)^T_B

Welche Abbildung realisiert mir das? Die Inverse von oben aber mit dem Zusatz, dass ich Koordinaten bzgl. neuen Vektoren rausbekomme.

$\begin{eqnarray*} R^{-1} = \begin{pmatrix} \cos(-30°) & \sin (-30°) \\ -\sin(-30°) & \cos (-30°) \end{pmatrix}_E^B \end{eqnarray*}$

Kannst du das nachvollziehen?

19.12.2009, 02:10

johny8891

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nicht ganz.

das mit der matrix ist mir weitgehend klar. aber wo muss ich die einheitsvektoren einsetzen bzw. wie soll die rechnung dan komplett aussehen?

19.12.2009, 14:09

johny8891

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Das mit dem )^E _B ist mir nicht so klar. habe bisher sowas nur beim integrieren gesehen

19.12.2009, 14:24

tigerbine

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Ich werde dir heute Abend ausführlich schreiben. Am Wochenende wird ja keine Abgabe sein. Augenzwinkern

20.12.2009, 11:57

johny8891

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Klar - thx.

20.12.2009, 14:26

tigerbine

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Nachdem wir die Einzelnen Schritte unterschiedlich beleuchtet haben (du solltest verstehen... Ups

was so Drehmatrizen machen und wie man Verschiebungen ausdrückt), schreiben wir die Kombination mal auf. Der Nachschlagebegriff ist Koordinatentransformation

Dein Wechsel der Koordinatensysteme entsteht nun durch 2 Transformationen. Ich würde das gedanklich auch in Zwei Schritte zerlegen.

Koordinatensystem 1: Da starten wir.
Koordinatensystem 2: Da verschieben wir Koordinatensystem 1
Koordinatensystem 3: Da drehen wir Koordinatensystem 2

Wie im Link angegeben erhalten wir

$\begin{eqnarray*} x_{K2} = x_{K1} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für unsere Basisvektoren also

$\begin{eqnarray*} e1_{K2} = e1_{K1} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e2_{K2} = e2_{K1} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auf die lassen wir nun die Drehmatrix wie bereits besprochen los. Ich runde nun mal was. Du musst das mit Wurzeln schreiben.

$\begin{eqnarray*} x_{K3} = R^{-1}x_{K2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e1_{K3} = \begin{pmatrix} \cos(-30°) & \sin (-30°) \\ -\sin(-30°) & \cos (-30°) \end{pmatrix}e1_{K2} =\begin{pmatrix} 1.13 \\ -3.96 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e2_{K3} = \begin{pmatrix} \cos(-30°) & \sin (-30°) \\ -\sin(-30°) & \cos (-30°) \end{pmatrix}e1_{K2} =\begin{pmatrix} -0.23 \\ -3.60 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich scanne mal eine Skizze ein. Wie können wir das nun durch Rechnung bekommen?

$\begin{eqnarray*} x_{K3} &&= R^{-1}x_{K2} = R^{-1}(x_{K1} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}) =R^{-1}x_{K1} -R^{-1}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\\&&=\begin{pmatrix} \cos(-30°) & \sin (-30°) \\ -\sin(-30°) & \cos (-30°) \end{pmatrix}x_{K1} - \begin{pmatrix} 2\cos(-30°) +4\sin (-30°) \\ -2\sin(-30°) +4\cos (-30°) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man sieht also, dass man hier in der meistens angegebenen Form x_neu=Ax_alt + v nicht einfach einsetzen darf. Mit dem was ich dir über die Indizes erzählt habe, macht das ja auch Sinn, da man sonst Koordinatenvektoren bzgl. unterschiedlicher Koordinatensysteme addieren würde.

Über eine Rückmeldung, wie ihr das in der Übung besprochen habt, würde ich mich freuen.

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