|exp(ix)|=1

14.12.2009, 22:52

Bullet1000

|exp(ix)|=1

Hallo, ich soll in meiner Übungsaufgabe zwei Dinge zeigen, bei denen ich absolut nicht weiß, wie ich rangehen soll.

$\begin{eqnarray*} <br /> exp(r) = e^r , r\in \mathbb Q<br /> <br /> |exp(ix)|=1<br /> \end{eqnarray*}$

Also bei dem ersten hab ich überhaupt keine Ahnung, wie ich das angehen soll.
Das zweite wäre an sich kein Problem. Jedoch ahben wir die Einschränkung, dass wir den beweis ohne die Euler'sche Formel führen sollen.

HAt da jemand von euch einen Tipp oder iene Idee?

Grüße

Bullet

14.12.2009, 22:58

Airblader

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Betrachte für die erste Gleichung erstmal natürliche Zahlen im Exponenten und verwende die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \exp(x+y) = \exp(x)\exp(y) \end{eqnarray*}$ (die du sicherlich zur Verfügung hast?).

air

14.12.2009, 23:11

Bullet1000

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Ja, die Gleichung hab ich zur Verfügung.

Aber ich weiß ehrlich gesgat nicht, warum ich das eigentlich noch beweisen muss. Sind das nicht einfach nur zwei Schreibweisen für dieselbe Sache?

14.12.2009, 23:20

Airblader

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Wie habt ihr denn exp(x) und wie die Zahl e eingeführt?
Bei uns ist das nämlich eben nicht so, da beide Dinge unabhängig voneinander eingeführt wurden. Der Witz ist, dass man gerade zeigt, dass diese Ausdrücke gleich sind.

air

14.12.2009, 23:23

Cugu

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Das Zweite könnte man aus
$\begin{eqnarray*} \exp(ix)\exp(-ix)=\exp(0)=1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \exp(ix)+\exp(-ix)\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
folgern, wobei letzteres aus
$\begin{eqnarray*} (ix)^k+(-ix)^k \in \mathbb{R}~~\forall k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
folgt.

14.12.2009, 23:52

Bullet1000

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Wir haben exp(z) über die Potenzreihe eingeführt und darüber gleich alles im komplexen gezeigt.

Ich glaube sind und Zweck der ersten Ausgabe ist es zu zeigen, dass die Schriebweise, die wir aus der Schule kennen ein und dasslebe beschreibt.

Zur zweiten Gleichung:
Damit habe ich die Sache mti dem Betrag noch nciht bewiesen, oder?

15.12.2009, 00:11

Airblader

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Zitat:

Original von Bullet1000
Ich glaube sind und Zweck der ersten Ausgabe ist es zu zeigen, dass die Schriebweise, die wir aus der Schule kennen ein und dasslebe beschreibt.

Genau das habe ich doch gesagt verwirrt

air

15.12.2009, 00:21

Cugu

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Hm ja, du musst sogar
$\begin{eqnarray*} \exp(ix)+\exp(-ix)=2Re\big(\exp(ix)\big) \end{eqnarray*}$
zeigen, was aus
$\begin{eqnarray*} (ix)^k+(-ix)^k =2Re\big((ix)^k\big)~~\forall k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
folgt.

Dann sind die beiden konjugiert komplex und mit $\begin{eqnarray*} |z|=\overline{z}z \end{eqnarray*}$ folgt die Behauptung.

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