Innenwinkel eine Dreiecks (Analytische Geometrie)

15.12.2009, 12:39

Pariah

Innenwinkel eine Dreiecks (Analytische Geometrie)

Hallo ihr,
ich bin gerade dabei für meine Abitur-P3 Klausur in Mathe zu lernen und habe eine Aufgabe, bei der ich entweder einen Rechen- oder einen Verständnisfehler habe.

Es geht um 3 Punkte, die ein Dreieck bilden A (5|2|-1) B (8|5|2), C (-1|1|5)
Die Aufgabe ist, die Seitenlängen und die Innenwinkel auszurechenen.

Die Seitenlängen habe ich bereits korrekt berechnet (nachgeprüft in DreiDGeo), indem ich jeweils für $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ die Strecke $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet habe und dann den Betrag des Vektors ausgerechnet habe.

Für die Berechnung der Winkel ist mir folgende Formel bekannt:
$\begin{eqnarray*} \cos(\gamma ) = \frac{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b} |} \end{eqnarray*}$
Wobei ich den oberen Bruchstrich skalarmultipliziere, beim unteren jeweils den Betrag ausrechne und das multipliziere.

Das Ergebnis muss ich mit cos^-1 multiplizieren, wobei mein Taschenrechner auf DEG umgestellt sein muss (erledigt).
Für die Vektoren zur Berechnung der Seitenlängen verwendet, also nicht die Punkte A,B,C sondern $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ect.
Dabei bekam ich für die Winkel raus:
95,76° (Alpha)
124,11° (Beta)
58,42° (Gamma)

Wer jetzt mitgerechnet hat weiß, dass das fast für zwei Dreiecke reicht.
Die richtigen Lösungen weiß ich (DreiDGeo), aber nicht wo mein Fehler ist.
Kann mir jemand weiterhelfen?

Lieben Gruß,
Pariah

15.12.2009, 14:02

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Wahrscheinlich hast du dich beim Vorzeichen verhauen: In der Formel

Zitat:

Original von Pariah
$\begin{eqnarray*} \cos(\gamma ) = \frac{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b} |} \end{eqnarray*}$

sowie den Äquivalenten für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ müssen die beiden beteiligten Vektoren entweder beiden vom Eckpunkt wegzeigen, oder beide hin - jedenfalls nicht unterschiedlich, sonst erwischst du den Außen- statt den Innenwinkel!

Zeig doch mal deine konkrete Rechnung, nicht nur die (z.T. falschen) Ergebnisse!

15.12.2009, 14:04

riwe

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RE: Innenwinkel eine Dreiecks (Analytische Geometrie)
ohne irgendetwas nachgerechnet zu haben, vermute ich:
du mußt die richtige ORIENTIERUNG der vektoren zu wort kommen lassen smile

d.h. die vektoren müssen vom scheitel des winkels WEG zeigen, also beachte

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA} \end{eqnarray*}$

15.12.2009, 14:38

Leopold

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RE: Innenwinkel eine Dreiecks (Analytische Geometrie)

Zitat:

Original von Pariah
Das Ergebnis muss ich mit cos^-1 multiplizieren

NEIN! Verständnisfehler!
Hier handelt es sich mitnichten um eine Multiplikation, sondern um eine Funktionsanwendung. So gilt zum Beispiel dafür auch kein Distributivgesetz (ausmultiplizieren), wie das bei einer Multiplikation erlaubt ist.

Zur eigentlichen Aufgabe habe zwei kompetente Herren sich schon geäußert ...

15.12.2009, 16:14

Pariah

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Halleluja und vielen Dank an alle 3, da lag also mein Fehler.
Vielen Dank, das war sehr hilfreich!

Lieben Gruß,
Pariah

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Innenwinkel eine Dreiecks (Analytische Geometrie)

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