Matrix in Abhängigkeit von t: invertierbar
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15.12.2009, 20:33 Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix in Abhängigkeit von t: invertierbar
Hi,

wollte mal wissen wie das funktioniert:

Habe eine 3x3 Matrix und dabei einen Wert, der als Parameter t gegeben ist.
Nun soll herausgefunden werden, für welchen Wert t, die Matrix invertierbar ist.

Damit die Matrix invertierbar ist, benötige ich ja vollen Rang, das heißt alle Zeilen(Spalten)-vektoren sind linear unabhängig.


a) Wie bekomme ich das nun hin:

Variante 1: die Matrix mit der Nullspalte erweitern und dann, das t so wählen, dass die Gleichungen (wo hinten eine Null steht) nun erfüllt sind...?

Variante 2: die Determinante der Matrix in Abhängigkeit von t berechnen, und diese muss dann ungleich 0 sein

b) Wenn ich wöllte, das 3 Vektoren linear abhängig voneinander sind, und ich bei einem Vektor auch einen Parameter t drin habe, dann müsste ich die anderen beiden Vektoren so linear kombinieren , das der 3. rauskäme, richtig?

Dann könnten 2 Vektoren linear unabhängig sein, aber deren Linearkombination ergibt eben den 3 Vektor, also hätte ich dann nur 2 linear unabhängige Vektoren. Richtig?



Danke fürs checken

Grüße

Physi
15.12.2009, 21:01 El_Snyder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix in Abhängigkeit von t: invertierbar
Zitat:
Original von Physinetz
Variante 1: die Matrix mit der Nullspalte erweitern und dann, das t so wählen, dass die Gleichungen (wo hinten eine Null steht) nun erfüllt sind...?

Was meinst du mit "die Matrix mit der Nullspalte erweitern"? Das zugehörige homogene Gleichungssystem aufstellen und lösen? Das sollte zum Ziel führen, ja. Das t muss dann so gewählt werden, dass keine Nullzeile entsteht.

Zitat:
Original von Physinetz
Variante 2: die Determinante der Matrix in Abhängigkeit von t berechnen, und diese muss dann ungleich 0 sein

So geht's auch.

Zitat:
Original von Physinetz
b) Wenn ich wöllte, das 3 Vektoren linear abhängig voneinander sind, und ich bei einem Vektor auch einen Parameter t drin habe, dann müsste ich die anderen beiden Vektoren so linear kombinieren , das der 3. rauskäme, richtig?

Korrekt. Eine Menge von Vektoren heisst l.a. wenn sich mindestens ein Vektor durch die anderen linear kombinieren lässt.

Zitat:
Original von Physinetz
Dann könnten 2 Vektoren linear unabhängig sein, aber deren Linearkombination ergibt eben den 3 Vektor, also hätte ich dann nur 2 linear unabhängige Vektoren. Richtig?

Ja, das ergibt sich aus der Definition von oben.
15.12.2009, 21:36 Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix in Abhängigkeit von t: invertierbar
Zitat:
Original von El_Snyder
...
Zitat:
Original von Physinetz
b) Wenn ich wöllte, das 3 Vektoren linear abhängig voneinander sind, und ich bei einem Vektor auch einen Parameter t drin habe, dann müsste ich die anderen beiden Vektoren so linear kombinieren , das der 3. rauskäme, richtig?

Korrekt. Eine Menge von Vektoren heisst l.a. wenn sich mindestens ein Vektor durch die anderen linear kombinieren lässt.
...


Wobei es natürlich in dem Fall, dass die ersten beiden Vektoren "zu zweit" schon linear abhängg sind, komplett egal ist, was der dritte macht. Ich gehe mal davon aus, dass dies in deiner Aufgabe nicht der Fall sein wird, sonst wärs etwas simpel. Aber grundsätzlich sollte man das im Hinterkopf behalten. Ein linear abhängiges System setzt nicht voraus, dass man jeden Vektor durch die anderen darstellen kann.
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